Projet 9
Accès immédiat + email envoyé après paiementI) Partie théorique
1) Contexte et problématique
On considère un tube cylindrique de section annulaire constitué de deux matériaux concentriques en adhérence parfaite : un tube interne en acier (\(E_1 = 2000\) GPa, \(\alpha_1 = 10^{-5}\) K⁻¹) et un tube externe en polymère (\(E_2 = 2\) GPa, \(\alpha_2 = 7\times10^{-5}\) K⁻¹). Initialement libre de contrainte à \(T_0 = 20\) °C, le tube est soumis à un fluide chaud à \(T_i = 120\) °C circulant en paroi interne, tandis que la paroi externe est maintenue à \(T_e = 20\) °C. L’étude vise à déterminer le champ de température stationnaire, les déformations thermiques résultantes, et l’état de contrainte dans deux configurations : (a) tube libre de se dilater, (b) tube contraint dans une cavité circulaire rigide.
2) Approche analytique
Le problème présente une symétrie axiale et une invariance longitudinale qui permettent de réduire l’analyse à une dimension radiale. L’équation de la chaleur en régime stationnaire en coordonnées cylindriques se réduit à \(\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(k\,r\frac{dT}{dr}\right)=0\) dans chaque matériau, dont l’intégration donne un champ de température par morceaux avec continuité de la température et du flux à l’interface \(r = R_m = 12\) mm. La constante d’intégration \(C_1\) est déterminée par les conditions de Dirichlet \(T(R_i) = 120\) °C et \(T(R_e) = 20\) °C. En thermoélasticité linéaire, la loi de Duhamel-Neumann couple déformation et température : \(\boldsymbol{\sigma} = \mathbb{C}:(\boldsymbol{\varepsilon} - \alpha\,\Delta T\,\mathbf{I})\). Dans le cas de l’expansion libre, les déformations sont purement thermiques et le déplacement radial s’exprime simplement \(u_r(r) = \alpha(r)\,(T(r)-T_0)\,r\), où \(\alpha(r)\) vaut \(\alpha_1\) ou \(\alpha_2\) selon la couche considérée.
II) Partie numérique (FEM)
1) Méthode numérique employée
La résolution numérique est effectuée par la méthode des éléments finis avec la bibliothèque FEniCSx en formulation déformations planes (2D). Le maillage d’un quart de couronne circulaire est réalisé avec Gmsh en quadrangles \(\mathbb{Q}_2\) recombines, avec 7 points de contrôle et 3 arcs de cercle concentriques. Les deux matériaux sont représentés par deux sous-domaines séparés par un arc à \(r = R_m\). Les propriétés matériau sont affectées par sous-domaine via des fonctions DG0. Le problème thermique stationnaire est résolu en CG1 avec conditions de Dirichlet aux parois interne et externe. Le problème thermoélastique est résolu en CG2 vectoriel avec conditions de symétrie sur les axes et, pour le cas contraint, blocage du déplacement radial à la paroi interne.
2) Résultats numériques
Le champ de température numérique est en parfait accord avec la solution analytique : le matériau 1 (acier, \(k_1 = 40\) W/m·K) présente un gradient quasi nul tandis que le matériau 2 (polymère, \(k_2 = 0{,}16\) W/m·K) concentre l’essentiel de la chute thermique avec une variation quasi linéaire en \(\ln r\). La température à l’interface vaut 119,86 °C. Pour le cas libre, le déplacement radial maximum en paroi externe atteint 0,061 mm, dominé par la forte dilatation du polymère (\(\alpha_2 = 7\times10^{-5}\) K⁻¹). La contrainte équivalente de von Mises maximale est de 28,22 MPa dans le cas libre. Pour le cas contraint, le blocage de la paroi interne génère des contraintes élevées : 2572 MPa dans l’acier et 21,6 MPa dans le polymère, tous deux au-delà de leur limite élastique.
III) Comparaison analytique — numérique
La comparaison entre la solution FEM et la solution analytique pour le cas de l’expansion libre montre une erreur relative inférieure à 0,5 % sur l’ensemble du domaine radial, ce qui valide la formulation déformations planes et le maillage employé. La solution numérique prédit correctement la répartition du gradient thermique entre les deux matériaux ainsi que la valeur du déplacement radial maximal. Le cas contraint ne dispose pas de solution analytique fermée simple du fait de l’interaction thermomécanique couplée et du rapport de modules \(E_1/E_2 = 1000\), mais les résultats numériques montrent une concentration de contrainte à l’interface cohérente avec l’analyse physique : le polymère, plus dilatable mais plus souple, est comprimé radialement tandis que l’acier subit des contraintes tangentielles élevées.
Conclusion orientée validation
La modélisation déformations planes 2D FEniCSx du tube bi-matériau sous gradient thermique radial est validée par comparaison avec la solution analytique du problème de conduction thermique multicouche et de la dilatation thermique libre. L’extension au cas contraint dans une cavité rigide démontre la capacité du code à traiter des conditions aux limites mixtes thermoélastiques avec un contraste de propriétés élevé entre matériaux (\(E_1/E_2 = 1000\)). Cette approche constitue une base pédagogique solide pour l’étude des contraintes thermiques dans les assemblages bi-matériaux, avec des applications aux échangeurs de chaleur, aux gaines de protection thermique, et plus généralement aux structures composites soumises à des gradients thermiques sévères.