16  Poutre ou arc ? — Effet de la géométrie sur la rigidité

Problème : on étudie pourquoi un pont en bois construit en arc est plus rigide qu’une planche horizontale. Un pont de portée \(L = 5\) m, appuyé en A et B, est constitué de planches d’épaisseur \(h = 5\) cm et de largeur \(a = 25\) cm en bois d’épicéa (\(E = 10\) GPa, \(\nu = 0{,}25\)). Une personne de masse \(m = 100\) kg (\(P = mg\)) se tient au milieu du pont. On cherche la flèche sous le point d’application du poids en fonction de la cambrure \(c\) de l’arc (poutre droite pour \(c = 0\), puis arc de cercle de profondeur \(c\)).

Paramètres :

Grandeur Valeur
Portée \(L\) \(5\) m
Épaisseur \(h\) \(5\) cm
Largeur \(a\) \(25\) cm
\(E\) (épicéa) \(10\) GPa
\(\nu\) \(0{,}25\)
Masse \(m\) \(100\) kg
Poids \(P = mg\) \(981\) N

Le modèle est un problème plan (contraintes planes) : la planche fléchit dans son plan vertical, la largeur \(a = 25\) cm étant l’épaisseur hors-plan. La flexion verticale met en jeu le moment d’inertie \(I = a h^3/12 = 2{,}60 \times 10^{-5}\) m\(^4\) et la section \(A = a h = 1{,}25 \times 10^{-2}\) m\(^2\).

16.1 Schéma de la structure

On représente la poutre droite (\(c = 0\)) et l’arc de cercle de profondeur \(c\), l’arc passant par les trois points \(A(0,0)\), \(C(L/2, c)\) et \(B(L,0)\). La charge \(P\) est appliquée au sommet de l’arc. Les appuis en A et B sont des articulations qui reprennent la poussée horizontale \(H\) de l’arc.

16.2 Poutre droite (\(c = 0\)) — solution analytique

La poutre droite simplement appuyée (articulation en A, appui simple en B) soumise à une charge ponctuelle centrale \(P\) relève de la théorie d’Euler-Bernoulli. En l’absence de cambrure, aucune poussée horizontale ne se développe (\(H = 0\)) et la planche travaille uniquement en flexion :

\[w(x) = \begin{cases} \dfrac{P}{48EI}\left(3L^2 x - 4 x^3\right) & 0 \le x \le L/2 \\ w(L-x) & L/2 \le x \le L \end{cases}\]

\[f = w(L/2) = \frac{P L^3}{48 E I}, \qquad M(x) = \frac{P}{2} x\quad(x \le L/2), \qquad M_{\max} = \frac{P L}{4}, \qquad T_{\max} = \frac{P}{2}, \qquad N = 0.\]

La contrainte maximale en flexion vaut \(\sigma_{\max} = M_{\max} h / (2 I)\). On calcule l’application numérique ci-dessous.

I  = 2.604e-06 m4
A  = 1.250e-02 m2
f  = 98.10 mm
Mmax = 1226 N.m  (PL/4 = 1226)
Tmax = 490 N
sigma_max = 11.77 MPa

16.3 Arc de cercle (\(c > 0\)) — statique et rigidité

16.3.1 Géométrie

L’arc de cercle passe par \(A(0,0)\), \(C(L/2,c)\), \(B(L,0)\). Le centre \(O\) est sur l’axe de symétrie \(x = L/2\), à l’ordonnée \(y_0 = (c^2 - L^2/4)/(2c)\) (négative pour un arc surbaissé), et le rayon vaut \(R = \sqrt{(L/2)^2 + y_0^2} = (L^2/4 + c^2)/(2c)\). La montée de l’arc est \(y(x) = y_0 + \sqrt{R^2 - (x - L/2)^2}\).

16.3.2 Effet de l’arc : la flexion devient de la compression

Dans un arc articulé en A et B, la géométrie cambrée transforme la flexion en poussée horizontale \(H\) aux appuis (les culées reprennent cette poussée). Pour un arc à trois articulations (rotule au sommet \(C\)), l’équilibre du demi-arc donne \(H = PL/(4c)\) : la poussée croît quand la cambrure diminue. Le moment au sommet s’annule (\(M_C = 0\)) et le chargement est principalement repris par un effort normal de compression \(N \simeq -H\). C’est le principe du pont en arc : le bois, très rigide en compression (\(EA\)), travaille beaucoup mieux que s’il fléchit.

16.3.3 Flèche du sommet — théorème de Castigliano

Pour un arc à deux articulations (structure hyperstatique de degré 1, la poussée \(H\) étant l’inconnue), la flèche du sommet s’obtient par le théorème de Castigliano, en combinant énergie de flexion et énergie axiale :

\[f = \int_\Gamma \frac{M}{EI}\frac{\partial M}{\partial P}\, ds + \int_\Gamma \frac{N}{EA}\frac{\partial N}{\partial P}\, ds,\]

où la poussée \(H\) est déterminée par la condition de compatibilité (distance \(AB\) fixe) :

\[\int_\Gamma \frac{M}{EI}\frac{\partial M}{\partial H}\, ds + \int_\Gamma \frac{N}{EA}\frac{\partial N}{\partial H}\, ds = 0.\]

Avec \(M(\varphi) = \tfrac{P}{2} x(\varphi) - H\, y(\varphi)\) et \(N(\varphi) = -\left(H\cos\varphi + \tfrac{P}{2}\sin\varphi\right)\) le long de l’arc, on intègre numériquement (méthode de Castigliano) pour chaque valeur de \(c\) : c’est la courbe théorique de référence que l’on comparera aux éléments finis.

c =    0.0 cm   H =     0.0 kN   f =    98.10 mm
c =    2.5 cm   H =    23.6 kN   f =    39.13 mm
c =    5.0 cm   H =    16.6 kN   f =    15.23 mm
c =    7.5 cm   H =    11.9 kN   f =     8.50 mm
c =   10.0 cm   H =     9.2 kN   f =     5.89 mm
c =   22.5 cm   H =     4.2 kN   f =     3.06 mm
c =   35.0 cm   H =     2.7 kN   f =     2.69 mm
c =   47.5 cm   H =     2.0 kN   f =     2.64 mm
Comparaison poutre droite / arc (Castigliano) :
  c = 0     : f = 98.10 mm   (poutre droite, flexion pure)
  c =     5 cm : H =   16.57 kN   f =    15.23 mm   (gain rigidité =    6.4x)
  c =    10 cm : H =    9.22 kN   f =     5.89 mm   (gain rigidité =   16.7x)
  c =    20 cm : H =    4.74 kN   f =     3.24 mm   (gain rigidité =   30.3x)
  c =    50 cm : H =    1.90 kN   f =     2.65 mm   (gain rigidité =   37.0x)

16.4 Interprétation

  • Pour \(c = 0\), la flèche vaut \(f = PL^3/(48EI) \simeq 9{,}8\) mm : la planche fléchit et le matériau travaille en flexion, mode peu efficace.
  • Dès que la cambrure augmente, une poussée horizontale \(H \simeq PL/(4c)\) se développe et le chargement est repris en compression quasi-axiale : la flèche chute d’un ordre de grandeur dès \(c \simeq 10\) cm (2 % de la portée).
  • La rigidité augmente de façon monotone avec \(c\) : le pont en arc est d’autant plus rigide qu’il est cambré, avec des gains marginaux décroissants (et un arc plus long, donc plus de matière). L’essentiel du gain est obtenu pour une cambrure modeste, de l’ordre de \(c \simeq 10\)–\(20\) cm.

La partie numérique (FEniCSx) va vérifier ces courbes et identifier la valeur de \(c\) qui maximise la rigidité.