Projet 7
Analyse thermoélastique d’une cuve sphérique sous pression et gradient thermique par comparaison Lamé et éléments finis
Accès immédiat + email envoyé après paiementI) Partie théorique
1) Contexte et problématique
L’étude des réservoirs sphériques sous pression et gradient thermique est un problème classique de la mécanique des structures, crucial pour le dimensionnement des cuves de stockage de gaz liquéfiés, des enceintes de confinement nucléaire ou des réservoirs sous-marins. Le système considéré est une sphère creuse de rayon intérieur \(R_i = 1\) m et d’épaisseur \(h = 10\) cm, soumise à une pression interne \(p_i = 350\) bar et à un gradient thermique \(\Delta T = 100\) °C entre les parois interne (\(-50\) °C) et externe (\(50\) °C). Le matériau est un acier élastique linéaire isotrope (\(E = 200\) GPa, \(\nu = 0,3\)) dont la contrainte admissible est fixée à \(\sigma_{\max} = 200\) MPa. La symétrie sphérique du problème réduit la dépendance spatiale à la seule coordonnée radiale \(r\), mais le couplage thermo-mécanique (loi de Duhamel-Neumann) complexifie l’analyse en superposant les contraintes d’origine thermique à celles issues de la pressurisation. L’objectif de ce travail est de valider la solution analytique de Lamé pour la pression et la solution thermique du Laplacien sphérique par une modélisation éléments finis axisymétrique.
2) Approche analytique
La résolution analytique du problème thermoélastique procède en deux étapes distinctes. Le champ de température \(T(r)\) est d’abord déterminé par résolution de l’équation de Laplace en coordonnées sphériques : \(\nabla^2 T = r^{-2} d(r^2 dT/dr)/dr = 0\), dont la solution générale est \(T(r) = A + B/r\). L’application des conditions aux limites \(T(R_i) = T_i\) et \(T(R_e) = T_e\) fournit le profil \(T(r) = T_i + (T_e - T_i)(1/R_i - 1/r)/(1/R_i - 1/R_e)\), qui présente une décroissance hyperbolique dans l’épaisseur. Sous l’effet de la pression interne seule, la solution de Lamé pour une sphère creuse donne les contraintes radiale \(\sigma_{rr}(r) = p_i R_i^3 (1 - R_e^3/r^3) / (R_e^3 - R_i^3)\) et tangentielle \(\sigma_{\theta\theta}(r) = p_i R_i^3 (1 + R_e^3/(2r^3)) / (R_e^3 - R_i^3)\). Le déplacement radial associé s’exprime par \(u_r(r) = p_i R_i^3 r [(1-2\nu) + (1+\nu)R_e^3/(2r^3)] / [E(R_e^3 - R_i^3)]\). La contrainte équivalente de von Mises, maximale en paroi interne, s’écrit \(\sigma_{VM}^{\max} = |\sigma_{\theta\theta}(R_i) - \sigma_{rr}(R_i)| = 3p_i / [2(1 - (R_i/R_e)^3)]\). En présence d’un gradient thermique, la loi de Duhamel-Neumann couple les champs : \(\boldsymbol{\sigma} = \mathbb{C} : (\boldsymbol{\varepsilon} - \alpha\Delta T\,\mathbf{I})\), où \(\alpha = 1,2 \times 10^{-5}\) °C\(^{-1}\) est le coefficient de dilatation thermique. Une élévation uniforme de température produit une dilatation libre sans contrainte, tandis qu’un gradient non uniforme induit des contraintes thermoélastiques supplémentaires. Enfin, l’ajout d’un renfort composite externe en fibres de carbone (\(E_t = 250\) GPa) modifie la rigidité radiale et réduit les contraintes dans la partie métallique, au prix d’une discontinuité de la contrainte tangentielle à l’interface.
II) Partie numérique (FEM)
1) Méthode numérique employée
L’analyse numérique est conduite via la méthode des éléments finis (FEM) en axisymétrique à l’aide de FEniCSx, en exploitant la symétrie de révolution de la cuve sphérique. La géométrie est réduite à la section méridienne — un secteur compris entre deux quarts de cercle de rayons \(R_i\) et \(R_e\) — discrétisée par un maillage quadrangulaire Q2 généré avec Gmsh (algorithme Delaunay for Quads, recombinaison, taille caractéristique \(h/10 = 1\) cm). L’espace fonctionnel utilise des éléments de Lagrange d’ordre 2 (Q2) pour le déplacement et d’ordre 1 (CG1) pour la température. Le problème thermique stationnaire \(\nabla \cdot (k\nabla T) = 0\) avec \(k = 50,2\) W/m\(\cdot\)K est résolu en premier, en imposant \(T = T_i\) sur la paroi interne et \(T = T_e\) sur la paroi externe. Le problème élastique est ensuite traité en trois cas : (a) dilatation libre à température uniforme \(T = 20\) °C, (b) gradient thermique \(T(r)\), et (c) pression interne seule \(p_i = 350\) bar. Les conditions aux limites imposent \(u_z = 0\) sur le plan de symétrie inférieur (\(z = 0\)). La pression interne est appliquée par un vecteur contrainte normal sur la paroi interne. Les contraintes sont projetées sur un espace DG0 pour l’extraction et la comparaison avec la solution de Lamé.
2) Résultats numériques
Les simulations numériques fournissent les champs de température, de déplacement et de contrainte dans la paroi de la cuve. Le profil thermique \(T(r)\) est conforme à la solution analytique : \(T(R_i) = -50,00\) °C et \(T(R_e) = 50,00\) °C, avec une décroissance quasi-linéaire dans l’épaisseur caractéristique d’une paroi mince. Pour le cas de pression interne seule, le déplacement radial maximal est localisé en paroi interne avec \(u_r(R_i) = 0,67\) mm, tandis que le déplacement en paroi externe vaut \(u_r(R_e) = 0,61\) mm. La contrainte tangentielle \(\sigma_{\theta\theta}\) atteint \(176,11\) MPa en paroi interne, dominante devant la contrainte radiale compressive \(\sigma_{rr}(R_i) = -35,00\) MPa. La contrainte équivalente de von Mises maximale est de \(211,11\) MPa, excédant la contrainte admissible \(\sigma_{\max} = 200\) MPa, ce qui conduit à un coefficient de sécurité \(s = 0,95\) inférieur à l’unité. Sous gradient thermique, des contraintes thermoélastiques supplémentaires se superposent aux contraintes de pression, pouvant aggraver localement l’état de contrainte.
III) Comparaison analytique – numérique
La confrontation entre la solution de Lamé et les résultats FEM axisymétriques montre une cohérence satisfaisante sur l’ensemble des grandeurs mécaniques. Les profils de contrainte radiale \(\sigma_{rr}\) et tangentielle \(\sigma_{\theta\theta}\) extraits des éléments finis suivent fidèlement les courbes théoriques sur toute l’épaisseur de la paroi. La distribution radiale de la contrainte de von Mises confirme que le point le plus critique se situe en paroi interne, avec un écart relatif inférieur à quelques pourcents entre les deux approches. Le coefficient de sécurité inférieur à l’unité (\(s = 0,95\)) indique que la pression de service de \(350\) bar dépasse la limite élastique du matériau pour cette géométrie, nécessitant soit une augmentation de l’épaisseur, soit l’emploi d’un renfort composite. L’analyse thermoélastique montre par ailleurs qu’un gradient thermique pur (sans pression) peut générer des contraintes non négligeables, soulignant l’importance de prendre en compte les chargements thermiques transitoires dans le dimensionnement des cuves soumises à des cycles de remplissage et vidange.
Conclusion orientée validation
Cette étude démontre la fiabilité de la méthode des éléments finis axisymétrique pour l’analyse thermoélastique des structures à symétrie sphérique. La validation croisée entre la solution analytique de Lamé et les résultats FEniCSx confirme la précision du modèle numérique, avec une erreur relative contenue sur l’ensemble des champs de contrainte et de déplacement. Sur le plan pédagogique, cet exercice illustre le couplage thermo-mécanique (loi de Duhamel-Neumann) et l’importance du critère de von Mises pour le dimensionnement au sens élastique. Le constat d’un coefficient de sécurité inférieur à l’unité pour la configuration testée met en évidence la nécessité d’une démarche de validation systématique avant certification d’un réservoir sous pression. L’extension au renfort composite ouvre la voie vers l’optimisation topologique des cuves haute pression, où la simulation numérique devient un outil indispensable face à la complexité des géométries et des chargements multi-physiques.