Projet 7

Simulation thermo-mécanique d’une poutre encastrée avec gradient thermique et validation par la solution analytique

Accès immédiat + email envoyé après paiement

I) Partie théorique

1) Contexte et problématique

Les réservoirs sphériques sous pression sont partout autour de nous : cuves de stockage de gaz liquéfiés, enceintes de centrales nucléaires, réservoirs sous-marins. La forme sphérique n’est pas un hasard : c’est la géométrie qui répartit le mieux les efforts mécaniques.

Prenons une sphère creuse en acier d’un mètre de rayon intérieur, avec une paroi épaisse de seulement dix centimètres. On lui applique une pression interne de 350 bars — trois cent cinquante fois la pression atmosphérique — et un écart de température de 100 °C entre l’intérieur (-50 °C) et l’extérieur (+50 °C). Le matériau est un acier standard dont la limite élastique est fixée à 200 MPa.

L’enjeu est simple : est-ce que ça tient ? Et comment le prévoir sans construire la cuve ?

2) Approche analytique

La physique nous donne des outils pour répondre. Commençons par la température. Dans une paroi sphérique, la chaleur se propage de l’intérieur vers l’extérieur en suivant une loi très simple : la température décroît en 1/r — inversement proportionnelle à la distance au centre. Connaissant les températures imposées sur les deux faces, on peut calculer exactement la température en tout point de l’épaisseur.

Vient ensuite la question des contraintes mécaniques. Sous l’effet de la pression seule, le matériau se déforme. La solution classique de Lamé nous dit comment la contrainte se répartit dans l’épaisseur : la contrainte radiale qui comprime la paroi varie de -350 bars à l’intérieur jusqu’à zéro à l’extérieur, tandis que la contrainte tangentielle qui étire la paroi est maximale en surface interne et décroît vers l’extérieur. La combinaison de ces deux contraintes donne une contrainte équivalente, dite de von Mises, qui sert de critère de dimensionnement.

Mais quand la température varie dans l’épaisseur, les choses se corsent. Le matériau se dilate différemment selon l’endroit : l’intérieur plus froid a tendance à se contracter, tandis que l’extérieur plus chaud se dilate. Cette différence génère des contraintes supplémentaires qui s’ajoutent à celles de la pression. C’est le couplage thermo-mécanique.

II) Partie numérique (FEM)

1) Méthode numérique employée

Pour vérifier ces prédictions théoriques, on utilise la méthode des éléments finis avec FEniCSx. Concrètement, on découpe la paroi de la cuve en petits morceaux — un maillage de 40 000 éléments quadrangulaires — et on résout les équations sur chaque petit morceau avant de tout assembler.

La symétrie de révolution de la sphère permet de simplifier : au lieu de modéliser la sphère entière en 3D, on ne représente qu’une fine tranche méridienne, comme une part de melon. Cela réduit considérablement le temps de calcul.

2) Résultats numériques

Les résultats confirment la théorie quasiment à la virgule près. Le profil de température calculé par éléments finis coïncide avec la solution analytique : -50 °C sur la paroi interne, +50 °C sur la paroi externe, avec une variation quasi-linéaire dans l’épaisseur.

Sous l’effet de la pression seule, la paroi interne se déplace de 0,67 mm vers l’extérieur — l’épaisseur d’une feuille de papier. La contrainte tangentielle maximale atteint 176 MPa en paroi interne, tandis que la contrainte radiale compressive est de 35 MPa.

La contrainte équivalente de von Mises culmine à 211 MPa… soit au-delà de la limite admissible de 200 MPa. Avec cette géométrie et cette pression, la cuve présente un coefficient de sécurité de 0,95 inférieur à 1 : elle est théoriquement en sur-régime.

III) Comparaison analytique - numérique

La confrontation entre la théorie de Lamé, qui date du XIXe siècle, et la simulation numérique moderne est saisissante de précision. Les profils de contrainte issus des éléments finis suivent les courbes théoriques avec un écart inférieur à quelques pourcents. La zone critique — la paroi interne — est identifiée par les deux méthodes de manière concordante.

Le constat est clair : pour une pression de 350 bars, cette cuve de 10 cm d’épaisseur ne passe pas le dimensionnement élastique. Il faudrait soit augmenter l’épaisseur, soit utiliser un matériau plus résistant, soit ajouter un renfort composite externe.

L’analyse thermique montre par ailleurs qu’un simple écart de température sans pression peut générer à lui seul des contraintes non négligeables. Un réservoir qui subit des cycles de remplissage froid et de vidange voit son état mécanique varier considérablement.

Conclusion

Cette étude montre que la simulation numérique par éléments finis est un outil fiable pour l’analyse des cuves sous pression, validé par la théorie vieille de près de deux siècles. Sur le plan pédagogique, elle illustre le couplage entre thermique et mécanique — deux disciplines souvent enseignées séparément mais qui, dans la réalité des structures, sont inextricablement liées.

Le résultat principal est clair : une cuve de 1 m de rayon avec 10 cm d’épaisseur, soumise à 350 bars et 100 °C d’écart thermique, ne satisfait pas le critère de dimensionnement élastique. Soit on épaissit la paroi, soit on réduit la pression, soit on ajoute un renfort composite. La simulation permet de trancher ces choix sans construire de prototype.