Projet 6
Validation numérique de la singularité de contrainte en pointe de fissure : solution de Westergaard vs éléments finis FEniCSx
Accès immédiat + email envoyé après paiementI) Partie théorique
1) Contexte et problématique
On considère une plaque carrée élastique isotrope de côté \(L = 10\) mm, contenant une fissure rectiligne centrée de longueur \(2a\) (\(a = 1\) mm), soumise à une traction uniforme \(\sigma = 1\) Pa en mode I d’ouverture. La présence de la fissure perturbe localement le champ de contrainte : la contrainte \(\sigma_{yy}\) diverge théoriquement comme \(1/\sqrt{r}\) au voisinage de la pointe, où \(r\) est la distance à la pointe. Cette singularité, caractéristique des problèmes de rupture, interdit l’application directe des critères de résistance classiques et nécessite l’introduction du facteur d’intensité de contrainte \(K_I\), paramètre central gouvernant l’amorçage et la propagation des fissures. L’objectif est de valider la solution analytique de Westergaard (1939) par simulation éléments finis, en exploitant les symétries du problème pour ne modéliser que le quart supérieur droit de la plaque.
2) Approche analytique
La résolution analytique repose sur la fonction potentielle complexe de Westergaard. Pour une fissure de longueur \(2a\) dans un milieu infini soumis à une traction uniforme \(\sigma\), les champs de contrainte complets sont donnés par des expressions fermées. Le long de la lèvre de fissure (\(y = 0\), \(0 \le x \le a\)), le déplacement d’ouverture vaut
\[u_y(x) = \frac{2\sigma}{E}\sqrt{a^2 - x^2},\]
avec un COD (Crack Opening Displacement) maximal au centre de la fissure, \(u_y(0) = 2\sigma a/E\). Sur le ligament (\(y = 0\), \(x \ge a\)), la contrainte \(\sigma_{yy}(x) = \sigma\, x/\sqrt{x^2 - a^2}\) présente une singularité intégrable en \(1/\sqrt{r}\) lorsque \(x \to a^+\).
Le développement asymptotique de Williams (1957) montre que le premier terme du champ en pointe de fissure est universel :
\[\sigma_{ij}(r,\theta) = \frac{K_I}{\sqrt{2\pi r}}\, f_{ij}(\theta), \qquad K_I = \sigma\sqrt{\pi a}.\]
Ce formalisme distingue fondamentalement le problème de la fissure de celui du trou circulaire (Kirsch) : la contrainte maximale y est finie (\(3\sigma\)) tandis qu’elle est singulière en pointe de fissure, justifiant l’emploi de la mécanique linéaire de la rupture.
II) Partie numérique (FEM)
1) Méthode numérique employée
L’analyse numérique est réalisée par la méthode des éléments finis avec FEniCSx, en exploitant les symétries du problème pour ne modéliser que le quart supérieur droit de la plaque. La géométrie est discrétisée par un maillage quadrangulaire généré avec Gmsh (algorithme Delaunay pour quadrangles, recombinaison). Un raffinement de maillage par champ de distance est appliqué autour de la pointe de fissure pour capturer la singularité en \(1/\sqrt{r}\) : la taille minimale des éléments est \(h_{tip} = 0{,}1\) mm au voisinage de la pointe, contre \(h = 0{,}3\) mm globalement.
L’espace fonctionnel utilise des éléments de Lagrange d’ordre 2 (\(\mathbb{Q}_2\)) pour le champ de déplacement vectoriel. Les conditions aux limites imposent \(u_x = 0\) sur l’axe de symétrie vertical (\(x = 0\)) et \(u_y = 0\) sur le ligament (\(y = 0\), \(x \ge a\)). La lèvre de fissure (\(y = 0\), \(0 \le x \le a\)) est laissée libre. Une traction uniforme \(\sigma = 1\) Pa est appliquée sur le bord supérieur \(y = L\) via une pression normale. Le système linéaire est résolu par décomposition LU via PETSc ; les contraintes sont ensuite projetées sur un espace continu \(\mathbb{CG}_1\) pour l’extraction des profils le long du ligament.
2) Résultats numériques
Les simulations fournissent une cartographie complète des champs de déplacement et de contrainte. Le déplacement vertical maximal en bouche de fissure atteint \(u_y^{max} = 2{,}015\times10^{-3}\) m pour les paramètres unitaires (\(E = 1\) Pa, \(\sigma = 1\) Pa), en excellent accord avec la valeur théorique \(2\sigma a/E = 2{,}00\times10^{-3}\) m. La déformée du quart de plaque montre l’ouverture caractéristique de la fissure en mode I.
La contrainte \(\sigma_{yy}\) extraite le long du ligament confirme la singularité en pointe : la valeur maximale relevée au premier nœud du ligament (\(x \simeq a\)) atteint \(8{,}24\) Pa, soit plus de huit fois la contrainte appliquée. Le profil \(\sigma_{yy}(x)\) suit fidèlement la loi de Westergaard \(\sigma_{yy} = \sigma\, x/\sqrt{x^2 - a^2}\) sur l’ensemble du ligament, l’écart se réduisant à mesure que l’on s’éloigne de la pointe.
III) Comparaison analytique — numérique
La confrontation entre la solution de Westergaard et les résultats FEM montre une excellente cohérence globale. Le déplacement \(u_y\) le long de la lèvre de fissure se superpose quasi parfaitement à la courbe théorique, avec une erreur relative inférieure à 0,75 % sur la valeur maximale en bouche de fissure (\(2{,}015\times10^{-3}\) m numérique contre \(2{,}000\times10^{-3}\) m théorique). Le facteur d’intensité de contrainte \(K_I = \sigma\sqrt{\pi a} = 5{,}6\times10^{-2}\) Pa·m\(^{1/2}\) constitue la grandeur de référence pour caractériser la sévérité de la fissure. Le rapport entre les déplacements en contraintes planes et en déformations planes vaut \(1/(1-\nu^2) = 1{,}099\) pour \(\nu = 0{,}3\), valeur confirmée numériquement.
La visualisation du champ complet \(\sigma_{yy}\) met en évidence la concentration extrême au voisinage de la pointe de fissure. La comparaison avec l’approximation asymptotique de Williams (premier terme \(K_I/\sqrt{2\pi r}\)) montre qu’elle coïncide avec la solution exacte au voisinage immédiat de la pointe (\(r \ll a\)) mais s’en écarte loin de celle-ci, où les termes réguliers du développement deviennent significatifs.
Conclusion orientée validation
Cette étude valide la capacité de la méthode des éléments finis à reproduire des champs singuliers en pointe de fissure, caractérisés par une divergence en \(1/\sqrt{r}\). La comparaison systématique entre la solution de Westergaard et les résultats FEniCSx démontre que le raffinement de maillage par champ de distance autour de la pointe permet de capturer la singularité avec une précision satisfaisante (erreur inférieure à 0,75 % sur le COD maximal). Sur le plan pédagogique, ce travail illustre la différence fondamentale entre concentration de contrainte (trou de Kirsch, grandeur finie) et singularité de contrainte (fissure, divergence), justifiant l’emploi du formalisme \(K_I\) en mécanique de la rupture. L’utilisation d’un maillage quadrangulaire raffiné en pointe et d’éléments \(\mathbb{Q}_2\) assure une convergence optimale des champs mécaniques, et constitue un prérequis indispensable avant d’aborder des problèmes plus complexes tels que la propagation de fissure ou le calcul d’intégrale \(J\) en élasto-plasticité.