Projet 6
Validation numérique de la singularité de contrainte en pointe de fissure par comparaison analytique (Westergaard) et éléments finis
Accès immédiat + email envoyé après paiementI) Partie theorique
1) Contexte et problematique
L’etude du comportement mecanique d’une structure fissuree est au coeur de la mecanique lineaire de la rupture, discipline fondamentale pour le dimensionnement et la maintenance des ouvrages critiques. Le probleme considere porte sur une plaque elastique isotrope de dimensions finies, contenant une fissure rectiligne centree de longueur 2a, soumise a une traction uniforme sigma appliquee en mode I d’ouverture. La presence de la fissure perturbe localement le champ de contrainte, creant une singularite en pointe : la contrainte sigma_yy diverge theoriquement en 1/sqrt(r), ou r est la distance a la pointe. Cette singularite, caracteristique des problemes de rupture, interdit l’application directe des criteres de resistance classiques et necessite l’introduction du facteur d’intensite de contrainte K_I, parametre central gouvernant l’amorcage et la propagation des fissures. L’objectif de ce travail est de valider la solution analytique de Westergaard (1939) par une simulation numerique elements finis, en exploitant les symetries du probleme pour reduire le domaine au quart superieur droit de la plaque.
2) Approche analytique
La resolution analytique repose sur la fonction potentielle complexe de Westergaard. Pour une fissure de longueur 2a dans un milieu infini sous traction uniforme sigma, les champs de contrainte complets sont donnes par des expressions fermees. Le long de la levre de la fissure (y=0, 0 <= x <= a), le deplacement d’ouverture vaut u_y(x) = (2 sigma / E) * sqrt(a^2 - x^2), avec un COD (Crack Opening Displacement) maximal au centre de la fissure. Sur le ligament (y=0, x >= a), la contrainte sigma_yy(x) = sigma * x / sqrt(x^2 - a^2) presente une singularite integrable en 1/sqrt(r) lorsque x tend vers a par valeurs superieures.
Le developpement asymptotique de Williams (1957) montre que le premier terme du champ en pointe de fissure est universel : sigma_ij(r, theta) = K_I * f_ij(theta) / sqrt(2 pi r), ou K_I = sigma * sqrt(pi * a) est le facteur d’intensite de contrainte. Ce formalisme distingue fondamentalement le probleme de la fissure de celui du trou circulaire (Kirsch) : la contrainte maximale y est finie (3 sigma) tandis qu’elle est singuliere en pointe de fissure, justifiant l’usage de la mecanique lineaire de la rupture.
II) Partie numerique (FEM)
1) Methode numerique employee
L’analyse numerique est realisee via la methode des elements finis (FEM) a l’aide de FEniCSx, en exploitant les symetries du probleme pour ne modeliser que le quart superieur droit de la plaque. La geometrie est une plaque carree de cote L = 10 mm avec une fissure de demi-longueur a = 1 mm. Elle est discretisee par un maillage quadrangulaire genere avec Gmsh (algorithme Delaunay for Quads, recombinaison). Un raffinement de maillage par champ de distance est applique autour de la pointe de fissure pour capturer la singularite en 1/sqrt(r) : la taille minimale des elements est de 0,1 mm au voisinage de la pointe, contre 0,3 mm globalement.
L’espace fonctionnel utilise des elements de Lagrange d’ordre 2 (Q2) pour le champ de deplacement vectoriel. Les conditions aux limites imposent u_x = 0 sur l’axe de symetrie vertical (x = 0) et u_y = 0 sur le ligament (y = 0, x >= a). La levre de fissure (y = 0, 0 <= x <= a) est laissee libre. Une traction uniforme sigma = 1 Pa est appliquee sur le bord superieur y = L par l’intermediaire d’une pression normale. Le systeme lineaire est resolu par decomposition LU via PETSc. Les contraintes sont ensuite projetees sur un espace continu CG1 pour l’extraction des profils le long du ligament.
2) Resultats numeriques
Les simulations numeriques fournissent une cartographie complete des champs de deplacement et de contrainte. Le deplacement vertical u_y maximal en bouche de fissure atteint 2,01 x 10^{-3} m pour les parametres unitaires (E = 1 Pa, sigma = 1 Pa), en excellent accord avec la valeur theorique 2 sigma a / E = 2,00 x 10^{-3} m. La deformee du quart de plaque montre l’ouverture caracteristique de la fissure en mode I.
La contrainte sigma_yy extraite le long du ligament confirme la singularite en pointe : la valeur maximale relevee au premier noeud du ligament (x ~ a) atteint 8,24 Pa, soit plus de huit fois la contrainte appliquee. Le profil sigma_yy(x) suit fidelement la loi de Westergaard sigma_yy = sigma * x / sqrt(x^2 - a^2) sur l’ensemble du ligament, avec un ecart qui se reduit a mesure que l’on s’eloigne de la pointe. Le profil de contrainte le long du ligament illustre parfaitement ce comportement.
III) Comparaison analytique - numerique
La confrontation entre la solution analytique de Westergaard et les resultats FEM montre une excellente coherence globale. Le deplacement u_y le long de la levre de fissure se superpose quasi parfaitement a la courbe theorique, avec une erreur relative inferieure a 0,75 % sur la valeur maximale en bouche de fissure (2,015 x 10^{-3} m numerique contre 2,000 x 10^{-3} m theorique). Le facteur d’intensite de contrainte K_I = sigma * sqrt(pi * a) = 5,61 x 10^{-2} Pa.m^{1/2} constitue la grandeur de reference pour caracteriser la severite de la fissure. Le rapport entre les deplacements en contraintes planes et en deformations planes vaut 1/(1 - nu^2) = 1,099, confirme numeriquement a 1,099 pres.
La visualisation du champ complet sigma_yy met en evidence la concentration extreme au voisinage de la pointe de fissure, tandis que la comparaison avec l’approximation asymptotique de Williams (premier terme K_I / sqrt(2 pi r)) montre que celle-ci coincide avec la solution exacte au voisinage immediat de la pointe (r << a) mais s’en ecarte loin de celle-ci, ou les termes reguliers du developpement deviennent significatifs.
Conclusion orientee validation
Cette etude valide la capacite de la methode des elements finis a reproduire des champs singuliers en pointe de fissure, caracterises par une divergence en 1/sqrt(r). La comparaison systematique entre la solution de Westergaard et les resultats FEniCSx demontre que le raffinement de maillage par champ de distance autour de la pointe permet de capturer la singularite avec une precision satisfaisante. Sur le plan pedagogique, ce travail illustre la difference fondamentale entre concentration de contrainte (trou de Kirsch, grandeur finie) et singularite de contrainte (fissure, divergence), justifiant l’emploi du formalisme K_I en mecanique de la rupture. L’utilisation d’un maillage quadrangulaire raffine en pointe et d’elements Q2 assure une convergence optimale des champs mecaniques. Cette demarche de validation constitue un prerequis indispensable avant d’aborder des problemes plus complexes tels que la propagation de fissure ou le calcul d’integrale J en elastoplasticite.