Projet 11
Accès immédiat + email envoyé après paiementI) Partie théorique
1) Contexte et problématique
L’objet de cette étude est de quantifier l’effet de la géométrie sur la rigidité d’une structure, en répondant à la question pratique du dimensionnement des ponts en bois : pourquoi construire un pont en arc plutôt que poser des planches horizontales ? On considère un pont de portée \(L = 5\) m appuyé en ses deux extrémités A et B, constitué de planches d’épaisseur \(h = 5\) cm et de largeur \(a = 25\) cm en bois d’épicéa (\(E = 10\) GPa, \(\nu = 0{,}25\)), chargé au milieu par une personne de masse \(m = 100\) kg (\(P = mg = 981\) N). On fait varier la cambrure \(c\) de l’arc — distance entre le sommet de l’arc et la droite AB — de \(0\) à \(50\) cm (arc de cercle passant par les trois points A, C et B) et l’on cherche la flèche sous le point d’application du poids ainsi que les sollicitations maximales (effort normal, effort tranchant, moment fléchissant) en fonction de \(c\).
2) Approche analytique
Pour la poutre droite (\(c = 0\)), la théorie d’Euler-Bernoulli fournit la flèche centrale \(f = PL^3/(48EI)\) et le moment maximal \(M_{\max} = PL/4\), avec \(I = a h^3/12 = 2{,}60 \times 10^{-6}\) m\(^4\), soit \(f = 98{,}1\) mm, \(M_{\max} = 1{,}23\) kN·m, \(T_{\max} = P/2 = 490\) N et une contrainte maximale \(\sigma_{\max} = M_{\max} h/(2I) = 11{,}8\) MPa : la planche travaille uniquement en flexion, mode de sollicitation peu efficace. Pour l’arc de cercle de cambrure \(c\), la géométrie cambrée fait apparaître une poussée horizontale \(H\) aux appuis, qui transforme la flexion en compression : pour un arc à trois articulations, \(H = PL/(4c)\), et la flèche du sommet se calcule par le théorème de Castigliano en combinant l’énergie de flexion et l’énergie axiale, la poussée \(H\) étant déterminée par la condition de compatibilité de la portée (arc à deux articulations). Cette résolution semi-analytique, intégrée numériquement le long de l’arc pour chaque cambrure, constitue la courbe théorique de référence \(f(c)\).
II) Partie numérique (FEM)
1) Méthode numérique employée
Le problème est discrétisé par la méthode des éléments finis dans l’environnement FEniCSx en contraintes planes (la largeur \(a = 25\) cm est l’épaisseur hors-plan). Pour chaque valeur de la cambrure \(c\) (pas de \(5\) mm jusqu’à \(10\) cm, puis de \(25\) mm jusqu’à \(50\) cm, soit 36 configurations), on construit un maillage structuré de la planche — secteur annulaire d’épaisseur \(h\) autour de l’arc de cercle passant par A, C et B pour \(c > 0\), rectangle \(L \times h\) pour \(c = 0\) — découpé en triangles \(\mathbb{P}_2\) (200 éléments le long de la portée, 4 dans l’épaisseur). Les appuis sont des articulations imposées aux points de l’axe neutre A et B (les deux composantes de déplacement nulles), la poussée horizontale étant reprise par les culées, et la charge \(P\) est répartie sur un petit patch de \(0{,}2\) m au sommet (traction \(P/(a l_p)\) par unité de largeur). Le système linéaire est résolu par décomposition LU (MUMPS). La flèche est extraite comme le maximum de \(|u_y|\) sur la structure, et les sollicitations \(N\), \(T\), \(M\) le long de l’arc sont obtenues par équilibre à partir des réactions d’appui \(H_A\) et \(R_{Ay}\), préalablement multipliées par la largeur \(a\) pour retrouver les efforts réels de la planche.
2) Résultats numériques
Les simulations reproduisent d’abord exactement la poutre droite : \(f = 98{,}05\) mm contre \(98{,}10\) mm pour Euler-Bernoulli (erreur \(0{,}05\,\%\)), \(M_{\max} = 1{,}23\) kN·m et \(T_{\max} = 490\) N, avec un équilibre global vérifié à \(10^{-5}\) près. Dès que la cambrure augmente, la flèche chute : \(f = 92{,}4\) mm à \(c = 0{,}5\) cm, \(15{,}5\) mm à \(c = 5\) cm, \(6{,}0\) mm à \(c = 10\) cm, jusqu’à un minimum de \(2{,}73\) mm atteint pour \(c \simeq 42{,}5\) cm (gain de rigidité de \(36\)). La poussée horizontale \(H\) passe par un maximum d’environ \(24\) kN vers \(c = 2\) cm puis décroît (\(9{,}2\) kN à \(c = 10\) cm, \(1{,}95\) kN à \(c = 50\) cm). L’effort normal maximal suit la poussée (\(9{,}2\) kN à \(c = 10\) cm), tandis que le moment fléchissant maximal chute de \(1{,}23\) kN·m (\(c = 0\)) à \(287\) N·m (\(c = 50\) cm) et que l’effort tranchant maximal reste voisin de \(P/2 \simeq 490\) N quelle que soit la cambrure.
III) Comparaison analytique — numérique
La confrontation entre les courbes éléments finis et la solution de Castigliano montre une excellente cohérence : l’erreur relative moyenne sur la flèche en fonction de la cambrure est de \(2{,}0\,\%\) sur l’ensemble de la plage \(c > 0\), et la poussée horizontale calculée par EF (\(1{,}95\) kN à \(c = 50\) cm) coïncide avec la valeur théorique (\(1{,}90\) kN). Les deux approches identifient la même cambrure optimale, proche de \(c \simeq 42\)–\(45\) cm, et confirment que la flèche croît légèrement au-delà (les arcs profonds sont plus longs, donc plus souples). La réduction du moment fléchissant (facteur \(4\) à \(c = 50\) cm) au profit d’un effort normal de compression, associée au fait que le bois est beaucoup plus rigide en compression (\(EA\)) qu’en flexion, explique physiquement la supériorité du pont en arc.
Conclusion orientée validation
Cette étude valide par éléments finis l’effet spectaculaire de la géométrie sur la rigidité d’un pont en bois : une cambrure de seulement \(2\,\%\) de la portée (\(c = 10\) cm) divise déjà la flèche par \(16\) par rapport à la planche horizontale (\(6{,}0\) mm contre \(98\) mm), et le maximum de rigidité est atteint pour \(c \simeq 42\) cm (\(2{,}7\) mm). La comparaison systématique avec la théorie de Castigliano, à moins de \(2\,\%\) d’erreur, confirme que l’arc ne travaille plus en flexion mais en compression axiale, la poussée \(H\) étant reprise par les culées. Sur le plan pédagogique, ce travail illustre la différence fondamentale entre un mode de sollicitation en flexion — qui mobilise peu le matériau — et un mode en compression quasi-axiale, et justifie le choix architectural des ponts en arc. La démarche de validation, reposant sur une boucle paramétrique sur la cambrure \(c\) et l’extraction des sollicitations par équilibre, constitue un prérequis pour aborder l’optimisation de forme de structures plus générales.