I) Partie théorique
1) Contexte et problématique
Le théorème de Castigliano permet d’obtenir directement déplacements et rotations d’une structure élastique linéaire à partir de la dérivée partielle de son énergie de déformation. Ce projet applique la méthode à quatre structures de résistance des matériaux : une poutre console chargée par une densité de force répartie et une force ponctuelle à son extrémité, un treillis triangulaire isostatique à cinq barres chargé au nœud médian de sa base, une poutre sur deux appuis simples prolongée d’un porte-à-faux et chargée à son extrémité libre, et un portique en L encastré chargé horizontalement à son sommet. Les caractéristiques mécaniques communes sont un module d’Young de 210 GPa et un coefficient de Poisson de 0,3 ; la longueur de référence vaut 1 m, la hauteur de section 50 mm, la largeur des barres du treillis 20 mm, la force ponctuelle 5 kN et la densité de charge répartie 10 kN/m. L’enjeu est d’établir les expressions analytiques fermées des grandeurs demandées, puis de les valider par un modèle numérique prenant en compte les effets de champ complets.
2) Approche analytique
Pour les poutres et le portique, le moment fléchissant est écrit dans chaque tronçon puis l’énergie de flexion, intégrale de M au carré sur deux fois le produit EI, est dérivée par rapport à la force ou au moment conjugué. Une force fictive horizontale est introduite au sommet du treillis afin d’extraire le déplacement horizontal, et un couple fictif est ajouté aux extrémités libres pour obtenir les rotations de section. Pour la console, la superposition des charges donne delta égale q L puissance 4 sur huit EI plus P L cube sur trois EI, soit 1,333 mm. Pour le treillis, l’équilibre des nœuds fournit les efforts normaux et la méthode de la force fictive donne le déplacement horizontal du sommet B égal à P L sur deux EA, soit 5,952 10 exposant moins 7 m, dirigé vers le rouleau. Pour la poutre à porte-à-faux, la flèche vaut P L cube sur huit EI, soit 0,2857 mm, et la rotation sept P L carré sur vingt-quatre EI, soit 6,667 10 exposant moins 4 rad. Pour le portique en L, la flèche horizontale vaut sept P L cube sur vingt-quatre EI, soit 0,6667 mm, et la rotation cinq P L carré sur huit EI, soit 1,4286 10 exposant moins 3 rad. Le rapport des deux moments quadratiques montre que le portique est deux fois plus souple en rotation que le porte-à-faux chargé de la même force.
II) Partie numérique (FEM)
1) Méthode numérique employée
Les structures continues sont discrétisées en élasticité bidimensionnelle sous l’hypothèse des contraintes planes avec une épaisseur hors-plan unité, ce qui restitue le moment quadratique I égal h cube sur douze et l’aire A égale à la largeur des barres. Les maillages sont structurés en triangles pour les poutres rectangulaires et générés par un maillage non structuré pour le portique en L ; les éléments sont de type P2 quadratique pour le déplacement et DG0 pour la reconstruction des contraintes. Les conditions aux limites reproduisent les appuis réels : encastrement complet du bord gauche pour la console et le portique, articulation ponctuelle sur l’axe neutre complétée d’un rouleau pour la poutre à porte-à-faux, le chargement étant appliqué en traction sur les facettes adéquates. Le système linéaire est résolu par une factorisation LU directe MUMPS. Le treillis, dont les articulations ne peuvent être représentées par un milieu continu, est assemblé en éléments barres à deux nœuds de raideur EA sur longueur, avec articulation en A et rouleau en C, puis résolu directement. Les rotations de section sont reconstruites à partir du tourbillon, demi somme de la dérivée transverse et de la dérivée axiale des composantes du déplacement.
2) Résultats numériques
Le modèle éléments finis reproduit les valeurs analytiques avec une excellente précision. La flèche de la console vaut 1,3351 mm pour une référence de 1,3333 mm. Le déplacement horizontal du sommet du treillis vaut 5,952381 10 exposant moins 7 m et coïncide exactement avec la théorie, la structure étant isostatique ; les efforts normaux retrouvés sont 2,50 kN en traction dans les membrures inférieures, moins 3,5355 kN en compression dans les diagonales et 5,00 kN en traction dans la barre verticale. La flèche du porte-à-faux vaut 0,28694 mm et sa rotation moins 6,678 10 exposant moins 4 rad. Le portique présente une flèche horizontale de 0,67280 mm et une rotation de 1,4403 10 exposant moins 3 rad. Les contrôles de cohérence confirment que le déplacement sur le bord encastré est nul à la précision machine, que la réaction verticale totale, obtenue par intégration de la contrainte de cisaillement sur la face encastrée, vaut 14 932 N pour une charge appliquée de 15 000 N, et que l’équilibre global des réactions du treillis est parfait.
III) Comparaison analytique – numérique
La confrontation des deux approches montre des écarts relatifs inférieurs à un pour cent sur l’ensemble des grandeurs. La console présente un écart de 0,13 %, le treillis un écart nul, le porte-à-faux des écarts de 0,43 % en flèche et 0,17 % en rotation, et le portique des écarts de 0,92 % en flèche et 0,82 % en rotation. Cet écart résiduel de l’ordre du pour cent provient de la différence entre la théorie des poutres à section droite et le modèle continu bidimensionnel, où la déformation d’effort tranchant et l’effet de Poisson introduisent une souplesse légèrement supérieure. L’augmentation de la densité de maillage réduit encore cet écart, confirmant la convergence des solutions éléments finis vers la référence de Castigliano. La cohérence dimensionnelle des expressions analytiques est vérifiée par le fait que tous les déplacements sont proportionnels à P L cube sur EI et les rotations à P L carré sur EI.
Conclusion orientée validation
Les expressions de Castigliano sont confirmées par les simulations éléments finis avec des écarts inférieurs à un pour cent, ce qui valide à la fois la dérivation analytique et la mise en œuvre numérique. Le treillis articulé reproduit exactement la théorie barres, tandis que les modèles continus de poutres et de portique capturent fidèlement les flèches et les rotations de section. La démarche illustre la complémentarité entre une méthode énergétique fermée, rapide et éclairante, et une simulation par éléments finis capable de traiter des géométries quelconques. Ce cas ouvre naturellement vers l’optimisation de forme de portiques et la prise en compte de la plasticité ou des grands déplacements.