24  TD Mécanique des structures — Théorème de Castigliano

Série d’exercices n°3 — quatre structures résolues par le théorème de Castigliano.

Ce carnet présente la résolution analytique des quatre problèmes du TD :

  1. Exercice 1 — poutre console (encastrée en A) soumise à une charge répartie \(q\) et à une charge ponctuelle \(P\) à son extrémité B : déplacement vertical en B.
  2. Exercice 2 — treillis triangulaire isostatique (barres AB, BC, BD, AD, DC) chargé par une force \(P\) au nœud D : déplacement horizontal en B.
  3. Exercice 3(a) — poutre sur deux appuis simples avec porte-à-faux (A : appui simple, B : rouleau) chargée en C : déplacement vertical et rotation en C.
  4. Exercice 3(b) — portique en L encastré en A (AB horizontale, BC verticale) chargé horizontalement en C : déplacement horizontal et rotation en C.

Le théorème de Castigliano s’écrit, pour une structure linéaire élastique d’énergie de déformation \(U\) :

\[\delta_i = \frac{\partial U}{\partial F_i}, \qquad \theta_i = \frac{\partial U}{\partial M_i}\]

où \(F_i\) (respectivement \(M_i\)) est une force (respectivement un moment) fictif ou réel appliqué au point \(i\) dans la direction du déplacement cherché. Pour la flexion, \(U = \int \dfrac{M^2}{2EI}\,\mathrm{d}x\) ; pour un treillis de barres, \(U = \sum_k \dfrac{N_k^2 \ell_k}{2 E A}\).

Paramètres communs :

Grandeur Symbole Valeur
Module d’Young \(E\) \(210\,\mathrm{GPa}\)
Coefficient de Poisson \(\nu\) \(0{,}3\)
Longueur de référence \(L\) \(1{,}0\,\mathrm{m}\)
Hauteur de section \(h\) \(50\,\mathrm{mm}\)
Largeur des barres du treillis \(w\) \(20\,\mathrm{mm}\)
Charge ponctuelle \(P\) \(5\,\mathrm{kN}\)
Charge répartie (Ex. 1) \(q\) \(10\,\mathrm{kN/m}\)

Les modèles numériques bidimensionnels sont en contraintes planes avec une épaisseur hors-plan unité ; le moment quadratique vaut alors \(I = h^3/12\) et l’aire du treillis \(A = w\).

24.1 Schéma des quatre structures

La figure ci-dessous récapitule la géométrie, les appuis et les chargements des quatre problèmes du TD.

24.2 Exercice 1 — poutre console sous charge répartie et charge ponctuelle

Mise en équation. On repère la section courante par son abscisse \(x\) mesurée depuis l’encastrement A. En isolant la partie de droite, le moment fléchissant s’écrit :

\[M(x) = \frac{q\,(L-x)^2}{2} + P\,(L-x).\]

L’énergie de flexion est \(U = \displaystyle\int_0^L \dfrac{M^2}{2EI}\,\mathrm{d}x\). Le déplacement vertical de l’extrémité B est obtenu en dérivant par rapport à la charge \(P\) (située en B) :

\[\delta_B = \frac{\partial U}{\partial P} = \frac{1}{EI}\int_0^L M\frac{\partial M}{\partial P}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{EI}\int_0^L\!\Big[\frac{q(L-x)^2}{2}+P(L-x)\Big](L-x)\,\mathrm{d}x.\]

D’où, avec \(\displaystyle\int_0^L (L-x)^3\mathrm{d}x=\frac{L^4}{4}\) et \(\displaystyle\int_0^L (L-x)^2\mathrm{d}x=\frac{L^3}{3}\) :

\[\boxed{\;\delta_B = \frac{qL^4}{8EI} + \frac{PL^3}{3EI}\;}\]

Les deux termes sont les flèches classiques d’une console sous charge répartie (\(qL^4/8EI\)) et sous charge d’extrémité (\(PL^3/3EI\)).

Exercice 1 — poutre console
  I              = 1.0417e-05 m^4
  q L^4/(8EI)    = 0.5714 mm
  P L^3/(3EI)    = 0.7619 mm
  delta_B (total)= 1.3333 mm

24.3 Exercice 2 — treillis triangulaire isostatique

Le treillis comporte 4 nœuds et 5 barres (AB, BC, BD, AD, DC) : c’est un système isostatique. Les longueurs sont \(\ell_{AD}=\ell_{DC}=\ell_{BD}=L\) et \(\ell_{AB}=\ell_{BC}=L\sqrt2\) (triangles rectangles isocèles). Les appuis sont une articulation en A (déplacements bloqués) et un rouleau en C (déplacement vertical bloqué). Le chargement est une force \(P\) verticale en D.

Méthode de la force fictive. Pour obtenir le déplacement horizontal de B, on introduit une force horizontale fictive \(H\) en B, puis on calculera \(\delta_{Bx}=\partial U/\partial H\) en \(H=0\). L’équilibre donne les efforts normaux :

\[N_{BD}=P,\quad N_{AD}=N_{DC}=\frac{P+H}{2},\quad N_{AB}=\frac{H-P}{\sqrt2},\quad N_{BC}=-\frac{P+H}{\sqrt2}.\]

L’énergie élastique du treillis vaut \(U=\displaystyle\sum_k\frac{N_k^2\,\ell_k}{2EA}\), d’où

\[\delta_{Bx}=\frac{\partial U}{\partial H}\Big|_{H=0}=\frac{1}{EA}\sum_k N_k\,\ell_k\,\frac{\partial N_k}{\partial H}\Big|_{H=0}.\]

En \(H=0\) : \(\partial N_{AD}/\partial H=\partial N_{DC}/\partial H=1/2\), \(\partial N_{BD}/\partial H=0\), \(\partial N_{AB}/\partial H=1/\sqrt2=-(\partial N_{BC}/\partial H)\). La contribution des barres diagonales s’annule par symétrie, et il reste

\[\delta_{Bx}=\frac{1}{EA}\Big[\frac P2 L\cdot\frac12 + \frac P2 L\cdot\frac12\Big]=\boxed{\;\frac{PL}{2EA}\;}\]

Le nœud B se déplace horizontalement vers la droite : la membrure inférieure (AD et DC en traction) s’allonge, l’articulation en A fixe l’extrémité gauche, si bien que la structure s’étire vers le rouleau C.

Exercice 2 — treillis (déplacement horizontal en B)
  A = w           = 2.000e-02 m^2
  P L/(2 E A)     = 5.952381e-07 m  = 5.952381e-04 mm
  efforts : N_AD=N_DC=2500 N, N_AB=N_BC=-3535.5 N, N_BD=5000 N

24.4 Exercice 3 — structures (a) et (b)

24.4.1 3(a) — Poutre sur appuis avec porte-à-faux

La poutre repose sur un appui simple en A (\(x=0\)) et un rouleau en B (\(x=L\)) ; elle se prolonge par un porte-à-faux BC de longueur \(L/2\) chargé par \(P\) en C (\(x=3L/2\)). Le système est isostatique. L’équilibre donne

\[R_A=-\frac P2 \ (\text{vers le bas}), \qquad R_B=\frac{3P}{2}.\]

Le moment fléchissant s’écrit par morceaux :

\[M(x)=-\frac{Px}{2}\quad(0\le x\le L), \qquad M(x)=Px-\frac{3PL}{2}\quad(L\le x\le \tfrac{3L}{2}).\]

Déplacement vertical en C : \(\delta_C=\displaystyle\frac1{EI}\int M\frac{\partial M}{\partial P}\,\mathrm{d}x\) avec \(\partial M/\partial P=-x/2\) puis \(\partial M/\partial P=x-\tfrac{3L}{2}\) :

\[\delta_C=\frac{1}{EI}\Big[\frac{P}{4}\frac{L^3}{3}+\frac{P}{3}\Big(\frac{L}{2}\Big)^3\Big]=\boxed{\;\frac{PL^3}{8EI}\;}\]

Rotation en C : on introduit un couple fictif \(M_C\) en C. L’équilibre devient \(R_B=\tfrac{3P}{2}-\tfrac{M_C}{L}\), \(R_A=-\tfrac P2+\tfrac{M_C}{L}\), et l’on montre \(\partial M/\partial M_C=x/L\) sur AB, \(\partial M/\partial M_C=1\) sur BC, d’où

\[\theta_C=\frac{\partial U}{\partial M_C}\Big|_{M_C=0}=\boxed{\;-\frac{7PL^2}{24EI}\;}\]

(rotation dans le sens horaire).

24.4.2 3(b) — Portique en L encastré

Le portique est encastré en A ; la membrure AB est horizontale (longueur \(L\)), la membrure BC verticale (hauteur \(L/2\)). Une force \(P\) horizontale est appliquée en C. En négligeant l’énergie de membrane (seul \(EI\) est donné), les moments valent

\[M_{BC}(y)=P\Big(\frac L2-y\Big)\ (0\le y\le \tfrac L2), \qquad M_{AB}(x)=\frac{PL}{2}\ (0\le x\le L).\]

Déplacement horizontal en C :

\[\delta_C=\frac1{EI}\Big[\int_0^{L/2}\!P\Big(\tfrac L2-y\Big)^2\mathrm{d}y+\int_0^{L}\frac{PL}{2}\cdot\frac L2\,\mathrm{d}x\Big]=\frac{1}{EI}\Big[\frac{PL^3}{24}+\frac{PL^3}{4}\Big]=\boxed{\;\frac{7PL^3}{24EI}\;}\]

Rotation en C : avec un couple fictif \(M_C\) en C (\(\partial M/\partial M_C=1\) partout) :

\[\theta_C=\frac1{EI}\Big[\int_0^{L/2}\!P\Big(\tfrac L2-y\Big)\mathrm{d}y+\int_0^{L}\frac{PL}{2}\mathrm{d}x\Big]=\frac1{EI}\Big[\frac{PL^2}{8}+\frac{PL^2}{2}\Big]=\boxed{\;\frac{5PL^2}{8EI}\;}\]

Exercice 3(a) — poutre avec porte-à-faux
  delta_C = 0.28571 mm
  theta_C = 6.666667e-04 rad

Exercice 3(b) — portique en L
  delta_C = 0.66667 mm
  theta_C = 1.428571e-03 rad

24.5 Interprétation et récapitulatif

Les quatre résultats analytiques sont regroupés ci-dessous. Ils constituent la référence à laquelle le modèle éléments finis FEniCSx du carnet numérique sera confronté.

Cas Grandeur Expression
Ex. 1 \(\delta_B\) \(qL^4/(8EI) + PL^3/(3EI)\)
Ex. 2 \(\delta_{Bx}\) \(PL/(2EA)\)
Ex. 3(a) \(\delta_C\) \(PL^3/(8EI)\)
Ex. 3(a) \(\theta_C\) \(7PL^2/(24EI)\)
Ex. 3(b) \(\delta_C\) \(7PL^3/(24EI)\)
Ex. 3(b) \(\theta_C\) \(5PL^2/(8EI)\)

Remarques.

  • Le théorème de Castigliano fournit directement déplacements et rotations à partir d’une seule fonction scalaire \(U\), sans intégration de l’équation de la déformée.
  • Pour l’exercice 2, la difficulté tient à la nature des appuis : l’articulation en A bloque la translation horizontale, ce qui brise la symétrie et rend le déplacement horizontal en B non nul (\(PL/2EA\)), dirigé vers le rouleau.
  • Le portique (3b) montre qu’un déplacement horizontal au sommet engendre conjointement une rotation de section (effet de cadre), contrairement à un simple console chargée en bout.

Le carnet numérique (td_castigliano_num.ipynb) met en œuvre ces quatre cas par éléments finis et vérifie les expressions ci-dessus.