E = 2.100e+11 Pa, nu = 0.3, I(h=50mm) = 1.0417e-05 m^425 TD Castigliano — vérification numérique par éléments finis (FEniCSx)
Ce carnet résout numériquement les quatre structures du TD et confronte les résultats à la solution analytique de Castigliano établie dans le carnet théorique.
Modèles employés.
- Exercices 1 et 3 (poutres et portique) : élasticité bidimensionnelle en contraintes planes, éléments triangles P2 (déplacement) et DG0 (contraintes), résolution par décomposition LU/MUMPS. Épaisseur hors-plan unité.
- Exercice 2 (treillis) : les barres sont des éléments finis à deux nœuds (effort normal), la liaison aux nœuds étant des articulations — impossible à représenter fidèlement par un milieu continu 2D. Le treillis est donc assemblé en éléments barres (raideur \(EA/\ell\)) et résolu directement, ce qui reproduit exactement le modèle de Castigliano.
Grandeurs comparées : déplacement vertical ou horizontal aux points demandés, et rotation de section (reconstruite par le champ tourbillon \(\omega_z=\tfrac12(\partial_y u_x-\partial_x u_y)\)).
25.1 Exercice 1 — poutre console
Maillage structuré du rectangle \([0,L]\times[-h/2,h/2]\) (\(240\times12\)), encastrement par blocage des deux composantes sur le bord gauche. Charge répartie \(q\) appliquée en traction sur la face supérieure, charge ponctuelle \(P\) répartie sur la face d’extrémité. On lit le déplacement vertical au point neutre \(B=(L,0)\).
Ex1 delta_B : FEM = 1.33509 mm | theo = 1.33333 mm | err = 0.132 %25.2 Exercice 2 — treillis articulé
Assemblage des 5 barres (raideur axiale \(EA/\ell\), rotation par la matrice de direction). Appuis : A articulé, C rouleau (vertical bloqué). Charge verticale \(P\) au nœud D. On lit le déplacement horizontal au nœud B et les efforts normaux.
Ex2 delta_Bx : FEM = 5.952381e-07 m | theo = 5.952381e-07 m | err = 0.0000 %
efforts N [AD,DC,AB,BC,BD] = [ 2500. 2500. -3535.5 -3535.5 5000. ] N25.3 Exercice 3(a) — poutre sur appuis avec porte-à-faux
Maillage structuré du rectangle \([0,\tfrac{3L}{2}]\times[-h/2,h/2]\) (\(360\times12\)). Appui simple en A (nœud neutre bloqué en \(x\) et \(y\)), rouleau en B (nœud neutre bloqué en \(y\)), charge \(P\) en traction sur la face d’extrémité C. La position médiane du segment est un nœud exact du maillage structuré.
Ex3a delta_C : FEM = 0.286940 mm | theo = 0.285714 mm | err = 0.429 %
Ex3a theta_C : FEM = -6.678208e-04 rad | theo = -6.666667e-04 rad | err = 0.173 %25.4 Exercice 3(b) — portique en L encastré
Géométrie en L obtenue par un polygone (membrure AB horizontale + membrure BC verticale) et maillée par Gmsh. Encastrement par blocage complet du bord gauche, charge horizontale \(P\) répartie sur la face supérieure de BC.
Info : Meshing 1D...
Info : [ 0%] Meshing curve 1 (Line)
Info : [ 20%] Meshing curve 2 (Line)
Info : [ 30%] Meshing curve 3 (Line)
Info : [ 40%] Meshing curve 4 (Line)
Info : [ 60%] Meshing curve 5 (Line)
Info : [ 70%] Meshing curve 6 (Line)
Info : [ 80%] Meshing curve 7 (Line)
Info : [ 90%] Meshing curve 8 (Line)
Info : Done meshing 1D (Wall 0.000372965s, CPU 0.000586s)
Info : Meshing 2D...
Info : Meshing surface 1 (Plane, Frontal-Delaunay)
Info : Done meshing 2D (Wall 0.0463294s, CPU 0.046502s)
Info : 2560 nodes 5126 elements
Ex3b delta_C : FEM = -0.672795 mm | theo = 0.666667 mm | err = 0.919 %
Ex3b theta_C : FEM = 1.440343e-03 rad | theo = 1.428571e-03 rad | err = 0.824 %25.5 Maillages, déformées et contraintes
Les figures PyVista ci-dessous présentent, pour les trois modèles continus (Ex1, Ex3a, Ex3b), les maillages, les déformées amplifiées et le champ de contrainte axiale \(\sigma_{xx}\). Chaque figure est suivie d’un rendu interactif Panel (glue).
25.6 Synthèse — comparaison analytique / numérique
Le tableau ci-dessous rassemble les valeurs de référence (Castigliano), les valeurs éléments finis et les écarts relatifs. Les vérifications de cohérence (conditions aux limites complètes pour les éléments P2, équilibre global des réactions) sont effectuées dans la cellule suivante.
grandeur theo FEM err %
Ex1 - delta_B 1.333333e-03 1.335087e-03 0.132
Ex2 - delta_Bx 5.952381e-07 5.952381e-07 0.000
Ex3a - delta_C 2.857143e-04 2.869397e-04 0.429
Ex3a - theta_C 6.666667e-04 6.678208e-04 0.173
Ex3b - delta_C 6.666667e-04 6.727950e-04 0.919
Ex3b - theta_C 1.428571e-03 1.440343e-03 0.824Verification QA
(1) max||u|| sur le bord encastre Ex1 : 3.099e-23 m (doit etre ~0)
(2) reaction verticale Ex1 : 14932.4 N vs charge 15000.0 N (ecart 0.45 %)
(3) equilibre treillis Ex2 : Ay + Cy = 5000.0 N vs P = 5000 N
(4) CL ponctuelles Ex3 imposees sur des noeuds exacts du maillage structure.