Projet 10
Accès immédiat + email envoyé après paiementI) Partie théorique
1) Contexte et problématique
On étudie l’équilibre d’une tour penchée — type Tour de Pise — modélisée en 2D (déformations planes) par un parallélogramme incliné posé sur un sol infiniment rigide avec contact unilatéral : la base ne peut que pousser sur le sol, jamais tirer dessus. Le chargement se réduit au poids propre. La question est de déterminer jusqu’à quel angle d’inclinaison \(\alpha\) la tour reste stable : elle repose sur l’ensemble de sa base tant que la contrainte verticale y reste compressive, se décolle partiellement quand un bord se soulève, puis bascule quand la résultante du poids sort de l’empreinte au sol.
Géométrie : parallélogramme de largeur \(L = 20\) m, hauteur \(H = 55\) m, inclinaison \(\alpha\) par rapport à la verticale. Matériau (béton) : \(E = 30\) GPa, \(\nu = 0{,}25\), masse volumique \(\rho = 2000\) kg/m³. L’angle \(\alpha\) varie de \(0°\) à \(25°\).
2) Approche analytique
Pour une poutre console de section rectangulaire soumise à son poids propre incliné, la contrainte verticale à la base s’écrit
\[\sigma_{yy}(x) = -\rho g H \cos\alpha + \frac{6\rho g H^2 \sin\alpha}{L^2}\left(\frac{L}{2}-x\right).\]
Le premier terme (compression uniforme \(-\rho g H \cos\alpha\)) vient du poids vertical, le second (terme de flexion \(\propto \sin\alpha\)) provient du moment du poids dû à l’inclinaison : la face intérieure se soulage, la face extérieure se comprime.
- Décollement : la base commence à se soulever quand la contrainte s’annule au bord intérieur, soit \(\sigma_{yy}(0) = 0\), ce qui donne \(\tan\alpha = L/(3H)\), soit \(\alpha \approx 6{,}9°\).
- Perte d’équilibre : la tour bascule quand la résultante du poids sort de l’empreinte au sol, soit \(\tan\alpha = L/H\), d’où \(\alpha \approx 20°\).
II) Partie numérique (FEM)
1) Méthode numérique employée
Le problème est discrétisé par éléments finis dans l’environnement FEniCSx en déformations planes (2D). Le parallélogramme est maillé en triangles \(\mathbb{P}_2\) (déplacement quadratique). Le contact unilatéral base/sol rigide est traité par une méthode de pénalité régularisée : la composante normale du déplacement ne peut pas pénétrer le sol, et la condition de non-traction est imposée sur l’empreinte. Le chargement est le poids propre, la structure repose sur le sol sans encastrement (aucune contrainte de déplacement n’est bloquée à la base, le contact gérant seul la réaction). Pour chaque inclinaison \(\alpha\), on extrait la distribution de \(\sigma_{yy}\) le long de la base, sa valeur minimale et maximale, ainsi que l’apparition éventuelle d’une zone en traction.
2) Résultats numériques
La distribution de contrainte verticale à la base n’est plus uniforme dès que la tour s’incline : le bord intérieur se soulage (la contrainte diminue et finit par s’annuler) tandis que le bord extérieur se comprime davantage. Les valeurs extrêmes de \(\sigma_{yy}\) en fonction de l’inclinaison sont les suivantes :
- Angle \(\alpha = 0°\) : compression quasi uniforme à la base.
- Angle \(\alpha = 10°\) : le bord intérieur est nettement soulagé, une zone en traction apparaît.
- Angle \(\alpha = 25°\) : la traction au bord intérieur s’est encore réduite, le contact ne porte plus que sur une fraction de la base.
Le décollement apparaît lorsque la contrainte minimale s’annule, pour un angle proche de la valeur analytique \(\alpha \approx 6{,}9°\) (\(\tan\alpha = L/(3H)\)). Au-delà, la zone de contact se réduit progressivement, jusqu’à la perte d’équilibre quand la résultante du poids sort de l’empreinte, autour de \(\alpha \approx 20°\) (\(\tan\alpha = L/H\)).
III) Comparaison analytique — numérique
La distribution de \(\sigma_{yy}\) le long de la base obtenue par éléments finis reproduit la forme affine prédite par la solution analytique : la pente du profil, pilotée par le terme de flexion \(\propto \sin\alpha\), et la valeur moyenne, pilotée par \(-\rho g H \cos\alpha\), sont cohérentes. Les deux approches identifient les mêmes angles critiques : le décollement de la base pour \(\tan\alpha = L/(3H)\) (\(\alpha \approx 6{,}9°\)) et la bascule pour \(\tan\alpha = L/H\) (\(\alpha \approx 20°\)). La confrontation valide ainsi la démarche de dimensionnement d’une structure reposant sur un contact unilatéral.
Conclusion orientée validation
Cette étude montre qu’une tour penchée ne reste en contact complet avec le sol que pour de faibles inclinaisons : la contrainte verticale à la base, non uniforme dès que la tour penche, s’annule au bord intérieur pour \(\alpha \approx 6{,}9°\) (décollement), et l’équilibre devient impossible vers \(\alpha \approx 20°\) quand la résultante du poids sort de l’empreinte. L’analyse par éléments finis avec contact unilatéral par pénalité reproduit la distribution affine de \(\sigma_{yy}\) prédite analytiquement et confirme les deux angles critiques, ce qui valide la modélisation d’un contact unilatéral pour le dimensionnement d’une structure monolithique posée sur un sol rigide. Sur le plan pédagogique, ce travail illustre le rôle déterminant de la condition de non-traction au sol — une base qui ne peut que comprimer — dans la stabilité d’une structure élancée.