Ri=1.0 m, Re=1.1 m, h=0.1 m
E=2.0e+11 Pa, nu=0.3, alpha=1.2e-05
p_int=350 bar
T_int=-50 C, T_ext=50 C13 Application numérique
Résolution par éléments finis en axisymétrique du problème thermoélastique de la cuve sphérique avec pressurisation et gradient thermique.
13.1 Importation des librairies
13.2 Maillage axisymétrique (section méridienne)
On maille la section méridienne de la cuve sphérique : secteur entre deux quart-de-cercles (rayons \(R_i\) et \(R_e\)) avec des quadrangles Q2.
Info : Meshing 1D...
Info : [ 0%] Meshing curve 1 (Circle)
Info : [ 30%] Meshing curve 2 (Circle)
Info : [ 60%] Meshing curve 3 (Line)
Info : [ 80%] Meshing curve 4 (Line)
Info : Done meshing 1D (Wall 0.000261866s, CPU 0.000366s)
Info : Meshing 2D...
Info : Meshing surface 1 (Plane, Frontal-Delaunay for Quads)
Info : Simple recombination completed (Wall 0.0059414s, CPU 0.006002s): 420 quads, 10 triangles, 0 invalid quads, 0 quads with Q < 0.1, avg Q = 0.956369, min Q = 0.604186
Info : Simple recombination completed (Wall 0.012567s, CPU 0.012509s): 1710 quads, 0 triangles, 0 invalid quads, 0 quads with Q < 0.1, avg Q = 0.963525, min Q = 0.547972
Info : Done meshing 2D (Wall 0.0285329s, CPU 0.028613s)
Info : 1892 nodes 2075 elements
Info : Optimizing mesh (HighOrder)...
Info : Optimizing high-order mesh...
Info : Optimizing mesh...
Info : Computing connectivity and bad elements for entity 1...
Info : Starting patch generation from 0 bad elements...
Info : Constructing 0 primary patches
Info : Computing patch connectivity...
Info : Identifying groups of primary patches...
Info : Merging primary patches into 0 patches...
Info : Computing boundaries for 0 patches...
Info : Generated 0 patches
Info : Optimization succeeded
Info : Done optimizing mesh (0.001354 s)
Info : Done optimizing high-order mesh (0.001354 s)
Info : Done optimizing mesh (Wall 0.00123376s, CPU 0.001459s)
Noeuds: 1891
Cellules: 171013.3 Visualisation du maillage
13.4 Espace fonctionnel
On utilise des éléments Q2 (Lagrange quadratiques) pour le déplacement et CG1 (linéaires) pour la température.
Dofs temperature: 1891
Dofs deplacement: 720113.5 Propriétés matériau et constantes
lambda = 1.15e+11 Pa, mu = 7.69e+10 Pa13.6 Problème thermique stationnaire
On résout \(\nabla \cdot (k \nabla T) = 0\) avec \(T = T_i\) sur la paroi interne et \(T = T_e\) sur la paroi externe.
Temperature: T(Ri)=-50.00, T(Re)=50.0013.7 Visualisation du champ de température
13.8 Problème thermoélastique
On résout \(\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{0}\) avec la loi de Duhamel-Neumann \(\boldsymbol{\sigma} = \mathbb{C} : (\boldsymbol{\varepsilon} - \alpha\,\Delta T\,\mathbf{I})\).
En axisymétrique, les déformations s’écrivent : \[\varepsilon_{rr} = \frac{\partial u_r}{\partial r},\quad \varepsilon_{zz} = \frac{\partial u_z}{\partial z},\quad \varepsilon_{ heta heta} = \frac{u_r}{r},\quad \gamma_{rz} = \frac{\partial u_r}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial r}\]
13.8.1 Cas (a) — Température uniforme \(T = 20\) °C
Cas (a): dilatation libre thermique13.8.2 Cas (b) — Gradient thermique \(T(r)\)
Cas (b): gradient thermique13.8.3 Pression interne seule
Cas pression: resolue13.9 Post-traitement : extraction des résultats
u_r max (pression): 0.6687 mm
u_z max (pression): 0.6692 mm
sigma_VM max (pression): 208.50 MPa
Coef securite: 0.9613.10 Comparaison avec la solution analytique de Lamé
Attention au repère : la solution FEM axisymétrique exprime les contraintes en coordonnées cylindriques \((r,z,\theta)\), tandis que la solution analytique de Lamé est en coordonnées sphériques \((R,\theta,\varphi)\). Ces deux repères ne coïncident qu’à l’équateur (\(z=0\)). On filtre donc les données à \(z \approx 0\).
À l’équateur : - \(\sigma_{rr}^{\,cyl} = \sigma_{RR}^{\,sph}\) (contrainte radiale) - \(\sigma_{zz}^{\,cyl} = \sigma_{\theta\theta}^{\,sph}\) (contrainte tangentielle) - \(\sigma_{\theta\theta}^{\,cyl} = \sigma_{\varphi\varphi}^{\,sph} = \sigma_{\theta\theta}^{\,sph}\) (contrainte circonférentielle)
Erreur absolue max : 2.454e-07 m
Erreur relative max : 0.04 %13.11 Conclusion (cuve simple)
Les résultats FEM axisymétriques sont comparés à la solution analytique de Lamé pour la sphère sous pression. L’accord valide le modèle éléments finis. Le gradient thermique induit des contraintes thermoélastiques qui se superposent aux contraintes de pression.
La section suivante traite du renforcement de la cuve par une couche composite externe.
13.12 Renfort composite externe
On ajoute une couche externe d’épaisseur \(t = 1\) cm en composite (fibres de carbone, \(E_c = 250\) GPa, \(\nu_c = 0.3\)). On analyse l’effet du renfort sous pression seule.
Info : Meshing 1D...
Info : [ 0%] Meshing curve 1 (Circle)
Info : [ 20%] Meshing curve 2 (Circle)
Info : [ 30%] Meshing curve 3 (Circle)
Info : [ 50%] Meshing curve 4 (Line)
Info : [ 60%] Meshing curve 5 (Line)
Info : [ 80%] Meshing curve 6 (Line)
Info : [ 90%] Meshing curve 7 (Line)
Info : Done meshing 1D (Wall 0.000329036s, CPU 0.000475s)
Info : Meshing 2D...
Info : [ 0%] Meshing surface 1 (Plane, Frontal-Delaunay for Quads)
Info : [ 0%] Simple recombination completed (Wall 0.00600297s, CPU 0.006113s): 420 quads, 10 triangles, 0 invalid quads, 0 quads with Q < 0.1, avg Q = 0.956369, min Q = 0.604186
Info : [ 0%] Simple recombination completed (Wall 0.0127582s, CPU 0.012758s): 1710 quads, 0 triangles, 0 invalid quads, 0 quads with Q < 0.1, avg Q = 0.963525, min Q = 0.547972
Info : [ 60%] Meshing surface 2 (Plane, Frontal-Delaunay for Quads)
Info : [ 60%] Simple recombination completed (Wall 0.000278326s, CPU 0.000277s): 88 quads, 0 triangles, 0 invalid quads, 0 quads with Q < 0.1, avg Q = 0.994318, min Q = 0.994318
Info : [ 60%] Simple recombination completed (Wall 0.00843986s, CPU 0.00844s): 352 quads, 0 triangles, 0 invalid quads, 0 quads with Q < 0.1, avg Q = 0.997093, min Q = 0.994815
Info : Done meshing 2D (Wall 0.0428355s, CPU 0.04315s)
Info : 2246 nodes 2609 elements
Info : Optimizing mesh (HighOrder)...
Info : Optimizing high-order mesh...
Info : Optimizing mesh...
Info : Computing connectivity and bad elements for entity 1...
Info : Computing connectivity and bad elements for entity 2...
Info : Starting patch generation from 0 bad elements...
Info : Constructing 0 primary patches
Info : Computing patch connectivity...
Info : Identifying groups of primary patches...
Info : Merging primary patches into 0 patches...
Info : Computing boundaries for 0 patches...
Info : Generated 0 patches
Info : Optimization succeeded
Info : Done optimizing mesh (0.001562 s)
Info : Done optimizing high-order mesh (0.001562 s)
Info : Done optimizing mesh (Wall 0.00148418s, CPU 0.001655s)
Noeuds: 2245
Cellules acier: 1710, composite: 352Cas renforce: resoluu_r max (non renforce): 0.6687 mm
u_r max (renforce): 0.6009 mm
Reduction: 10.1%
sigma_VM max acier (renforce): 189.39 MPa
sigma_VM max acier (non renforce): 208.50 MPa
Coef securite acier (renforce): 1.06
Coef securite acier (non renforce): 0.96