11 Application numérique

Résolution par éléments finis (FEniCSx) du problème de fissure dans une plaque soumise à une traction uniforme. On modélise le quart supérieur droit de la plaque en exploitant les symétries du problème.

11.1 Importation des librairies

11.2 Géométrie et maillage

11.2.1 Création de la géométrie avec Gmsh

On considère le quart supérieur droit d’une plaque carrée fissurée de côté \(L = 20\) avec une fissure de demi-longueur \(a = 2\) centrée au milieu de la plaque. Les symétries du problème (mode I) sont exploitées :

axe \(x = 0\) : plan de symétrie vertical → \(u_x = 0\)
axe \(y = 0\) : plan de symétrie horizontal sur le ligament (\(x \ge a\)) → \(u_y = 0\) ; la lèvre de fissure (\(x < a\)) est libre

Le maillage est raffiné autour de la pointe de fissure pour capturer la singularité en \(1/\sqrt{r}\).

Les bords sont identifiés par les tags : - crack_lip (tag 1) : lèvre de fissure \(y = 0,\; 0 \le x \le a\) - ligament (tag 2) : ligament \(y = 0,\; a \le x \le L\) - right (tag 3) : bord \(x = L\) - top (tag 4) : bord \(y = L\) (traction appliquée) - left (tag 5) : bord \(x = 0\)

Info    : Meshing 1D...
Info    : [  0%] Meshing curve 1 (Line)
Info    : [ 30%] Meshing curve 2 (Line)
Info    : [ 50%] Meshing curve 3 (Line)
Info    : [ 70%] Meshing curve 4 (Line)
Info    : [ 90%] Meshing curve 5 (Line)
Info    : Done meshing 1D (Wall 0.00185382s, CPU 0.00202s)
Info    : Meshing 2D...
Info    : Meshing surface 1 (Plane, Frontal-Delaunay for Quads)
Info    : Simple recombination completed (Wall 0.0028434s, CPU 0.002907s): 366 quads, 24 triangles, 0 invalid quads, 0 quads with Q < 0.1, avg Q = 0.932174, min Q = 0.530381
Info    : Simple recombination completed (Wall 0.00632512s, CPU 0.006396s): 1536 quads, 0 triangles, 0 invalid quads, 0 quads with Q < 0.1, avg Q = 0.935339, min Q = 0.530998
Info    : Done meshing 2D (Wall 0.0151632s, CPU 0.015256s)
Info    : 1619 nodes 1705 elements

11.2.2 Visualisation du maillage

11.3 Espace fonctionnel

On utilise un espace d’éléments finis vectoriel de type Lagrange d’ordre 2 (P2) pour approcher le champ de déplacement \(\mathbf{u} = (u_x, u_y)\).

11.4 Propriétés matériau

Le matériau est élastique linéaire isotrope avec module d’Young \(E = 2 \times 10^{11}\) Pa et coefficient de Poisson \(\nu = 0.3\). En contraintes planes (formulation physiquement adaptée à une plaque mince) :

11.4.1 Tenseurs de déformation et de contrainte

11.5 Conditions aux limites

On applique les conditions de symétrie : - \(u_x = 0\) sur le bord gauche \(x = 0\) (tag 5) - \(u_y = 0\) sur le ligament \(y = 0,\; x \ge a\) (tag 2)

La lèvre de fissure (tag 1) est libre.

11.6 Chargement

Une traction uniforme \(\sigma = 1\) est appliquée sur le bord supérieur \(y = L\) (tag 4), sous forme d’une pression normale \(\mathbf{T} = \sigma \,\mathbf{n}\).

11.7 Formulation variationnelle

11.8 Résolution

Coefficient(FunctionSpace(Mesh(blocked element (Basix element (P, quadrilateral, 1, equispaced, unset, False, float64, []), (2,)), 0), blocked element (Basix element (P, quadrilateral, 2, gll_warped, unset, False, float64, []), (2,))), 7)

uy_max on crack lip = 2.014945e-03 at x = 5.943797e-21
uy at x=0 (crack mouth) = 2.014945e-03

11.9 Post-traitement : projection des contraintes

x - a (m)   sigma_yy (Pa)
-2.168404e-19   8.240456e+00
9.772402e-05    2.452616e+00
1.978226e-04    1.792615e+00
3.030641e-04    1.551880e+00
4.137140e-04    1.416137e+00
5.300505e-04    1.327454e+00
6.523658e-04    1.264610e+00
7.809671e-04    1.218251e+00
9.161774e-04    1.182825e+00
1.058336e-03    1.155044e+00
...
sigma_yy max at ligament = 8.240456e+00

11.10 Résultats : ouverture de fissure

On visualise la déformée de la structure, en amplifiant les déplacements pour voir l’ouverture de la fissure.

11.11 \(u_y\) le long de la lèvre de fissure

On trace l’évolution du déplacement vertical \(u_y\) le long de la lèvre de fissure (\(y=0,\; 0 \le x \le a\)). Théoriquement, \(u_y \propto \sqrt{a - x}\) près de la pointe de fissure.

11.12 Champ de contraintes

On affiche les composantes \(\sigma_{xx}\), \(\sigma_{yy}\), \(\sigma_{xy}\) sur le domaine.

11.13 Contrainte \(\sigma_{yy}\) le long du ligament

On trace \(\sigma_{yy}\) le long de l’axe \(y=0\) de \(x=a\) à \(x=L\) (segment A’B’ dans la notation du sujet). Théoriquement, \(\sigma_{yy} \propto 1/\sqrt{x-a}\) près de la pointe.

11.14 Visualisation du champ \(\sigma_{yy}\) complet

11.15 Comparaison avec la solution analytique

Pour une fissure droite dans un milieu infini en mode I, la solution analytique donne :

Le déplacement \(u_y\) sur la lèvre de fissure est proportionnel à \(\sqrt{a - x}\) près de la pointe.
La contrainte \(\sigma_{yy}\) dans le ligament est proportionnelle à \(1/\sqrt{x - a}\) près de la pointe.

Les graphiques ci-dessus montrent ces comportements asymptotiques. L’écart pour les grandes distances est dû aux effets de bord (domaine fini vs infini).

11.16 Comparaison contraintes planes / déformations planes

Le choix de formulation impacte uniquement la relation contrainte-déformation :

Contraintes planes (\(\sigma_{zz} = 0\)) : \(\varepsilon_{xx} = \sigma_{xx}/E - \nu\sigma_{yy}/E\), \(\varepsilon_{yy} = -\nu\sigma_{xx}/E + \sigma_{yy}/E\)
Déformations planes (\(\varepsilon_{zz} = 0\)) : \(\varepsilon_{xx} = (1-\nu^2)\sigma_{xx}/E - \nu(1+\nu)\sigma_{yy}/E\), \(\varepsilon_{yy} = -\nu(1+\nu)\sigma_{xx}/E + (1-\nu^2)\sigma_{yy}/E\)

Le rapport entre les déplacements en contraintes planes et en déformations planes pour un même chargement est :

\[\frac{u^{\text{CP}}}{u^{\text{DP}}} = \frac{1}{1-\nu^2} \approx 1.099\]

Le facteur d’intensité de contrainte \(K_I\) et les contraintes (dans le plan) sont identiques dans les deux formulations.

Contraintes planes : uy_max (levre) = 2.014945e-03
  COD theorique (CP) : uy(0) = 2*sigma*a/E = 2.000000e-03
  COD theorique (DP) : uy(0) = 2*sigma*a*(1-nu^2)/E = 1.820000e-03

=> Rapport CP/DP des deplacements = 1/(1-nu^2) = 1.0989
  (verification avec les donnees numeriques : 1.0989)

Influence sur les contraintes : identiques (K_I ne depend pas du choix de formulation)

11.17 Conclusion

La simulation par éléments finis reproduit les comportements attendus pour une plaque fissurée en mode I :

L’ouverture de la fissure est visible sur la déformée.
Le déplacement \(u_y\) le long de la lèvre suit une loi en \(\sqrt{a-x}\) au voisinage de la pointe.
La contrainte \(\sigma_{yy}\) présente une singularité en \(1/\sqrt{r}\) à la pointe de fissure.
Le raffinement de maillage autour de la pointe permet de capturer correctement ces gradients.

On pourrait étendre cette étude par : - Une étude de convergence au maillage (maillage non structuré SURF). - L’utilisation d’un maillage radial en pointe de fissure. - La comparaison entre éléments TRI3 et TRI6. - L’étude de l’influence du module d’Young sur les champs.