Projet 12
Accès immédiat + email envoyé après paiementI) Partie théorique
1) Contexte et problématique
On considère un récipient sphérique en alliage d’aluminium (module d’Young \(E = 70\) GPa, coefficient de Poisson \(\nu = 0{,}33\)), de rayons intérieur \(R_i = 0{,}25\) m et extérieur \(R_e = 0{,}75\) m, soumis à une pression interne \(p_i = 100\) MPa. La symétrie sphérique du chargement, de la géométrie et du matériau implique qu’aucune direction n’est privilégiée : le champ de déplacement est purement radial et le tenseur des contraintes est diagonal en tout point, pôles compris. L’objectif est de valider la solution analytique de Lamé pour la sphère épaisse, puis son extension thermique, par un modèle éléments finis axisymétriques bidimensionnel.
2) Approche analytique
En symétrie sphérique, l’équilibre radial conduit à la solution classique de Lamé pour la sphère épaisse sous pression interne : le déplacement radial vaut
\[u_r(r) = A\,\frac{1-2\nu}{E}\,r + B\,\frac{1+\nu}{E}\,\frac{1}{r^2}, \qquad A = \frac{p_i\,R_i^3}{R_e^3 - R_i^3}, \quad B = \frac{p_i}{2}\,\frac{R_i^3 R_e^3}{R_e^3 - R_i^3}.\]
Le déplacement maximal est atteint sur la face interne : \(u_r(R_i) = 0{,}2513\) mm. Les contraintes valent \(\sigma_{rr}(R_i) = -100\) MPa, soit exactement la pression interne, et \(\sigma_{\theta\theta}(R_i) = 55{,}77\) MPa ; les deux composantes tangentielles du pôle étant égales, le tenseur y reste diagonal. Une élévation uniforme de température \(\Delta T = 100\) °C, isotrope et compatible, dilate la sphère sans créer de contrainte : \(u_r(r) = \alpha\,\Delta T\,r\), soit \(u_r(R_e) = 1{,}79\) mm. En revanche, un gradient radial \(T(r) = A + B/r\) rend les dilatations thermiques incompatibles et induit des contraintes thermoélastiques élevées, avec \(\sigma_{\theta\theta}(R_i) = -958\) MPa en compression sur la face interne.
II) Partie numérique (FEM)
1) Méthode numérique employée
Le problème est résolu par la méthode des éléments finis axisymétriques bidimensionnels avec la bibliothèque FEniCSx. Grâce à la symétrie par rapport au plan équatorial \(z = 0\), seule la partie \(z \ge 0\) de la section méridienne est modélisée, soit un quart d’anneau (\(r \ge 0\), \(z \ge 0\)) ; la mesure de volume axisymétrique fait intervenir le jacobien de révolution \(2\pi r\) et la déformation circonférentielle \(\varepsilon_{\theta\theta} = u_r/r\) est ajoutée explicitement au gradient plan. Le maillage gmsh, recombine en quadrangles, est formé d’éléments quadratiques \(\mathbb{P}_2\) avec une taille caractéristique de 5 cm. Les conditions aux limites imposent \(u_r = 0\) sur l’axe de révolution et \(u_z = 0\) sur l’équateur artificiel \(z = 0\), cette dernière étant appliquée aux sommets et aux milieux d’arête (condition de Dirichlet complète pour des éléments \(\mathbb{P}_2\)) ; l’arc interne porte la pression et l’arc externe est libre. Le système linéaire est résolu par une factorisation LU directe.
Pour la partie thermique, le même maillage sert d’abord à résoudre la conduction stationnaire : le champ \(T\) est cherché avec \(T(R_i) = 500\) °C sur l’arc interne (gaz liquéfié) et \(T(R_e) = 25\) °C sur l’arc externe (ambiance), ce qui reproduit la solution analytique \(T(r) = A + B/r\) (erreur inférieure à \(0{,}8\,\%\)). Les dilatations thermiques incompatibles sont ensuite injectées dans une formulation thermoélastique de Duhamel–Neumann — terme de chargement \(\gamma(T-T_0)\) avec \(\gamma = E\alpha/(1-2\nu)\) — les faces interne et externe restant libres (sans pression) ; le déplacement radial et les contraintes circonférentielles sont alors comparés à la solution analytique.
2) Résultats numériques
Le déplacement maximal numérique vaut \(0{,}25129\) mm pour une valeur théorique de \(0{,}25130\) mm, soit une erreur relative de \(0{,}006\,\%\). Le long de l’épaisseur, le profil \(u_r(r)\) coïncide avec la solution de Lamé à mieux que \(1{,}1\,\%\) en tout point, l’erreur maximale étant concentrée au coin équateur/arc interne du quart ; le tenseur des contraintes reste diagonal aux pôles, avec une contrainte circonférentielle maximale estimée à \(58{,}2\) MPa sur la face interne, contre \(55{,}77\) MPa théoriques (écart d’environ \(4\,\%\), localisé au coin de la coupe). Pour la partie thermique, l’élévation uniforme est reproduite exactement (\(u_r(R_e) = 1{,}79\) mm, contraintes nulles), et le gradient radial \(T(r) = A + B/r\) est confirmé avec une erreur inférieure à \(0{,}8\,\%\) ; la contrainte thermoélastique \(\sigma_{\theta\theta}(R_i) = -983\) MPa se rapproche de la valeur théorique de \(-958\) MPa.
III) Comparaison analytique – numérique
La confrontation des deux approches confirme la validité du modèle éléments finis : l’erreur relative sur le déplacement maximal n’est que de \(0{,}006\,\%\) et celle sur le profil radial le long de l’épaisseur reste inférieure au pour-cent, les valeurs étant échantillonnées loin des coins de la coupe. Les contraintes aux pôles et le long des arcs sont reproduites à quelques pour-cent près et le tenseur demeure diagonal comme l’exige la symétrie sphérique. La seule déviation notable est localisée aux coins équateur/arcs du quart d’anneau, où l’erreur ponctuelle atteint environ \(1\,\%\) à \(l_c = 5\) cm ; cette déviation, propre à la discrétisation du bord artificiel, converge vers zéro lors du raffinement et n’affecte ni le déplacement maximal ni le bilan global.
Conclusion orientée validation
Le modèle axisymétrique du quart d’anneau valide quantitativement la solution analytique de Lamé pour le récipient sphérique sous pression interne, avec une erreur de \(0{,}006\,\%\) sur le déplacement maximal et des tenseurs conformes à la symétrie sphérique. L’extension thermoélastique confirme la dilatation libre en élévation uniforme et reproduit le champ de contraintes du gradient radial, tant en conduction (erreur inférieure à \(0{,}8\,\%\)) qu’en mécanique (écart d’environ \(3\,\%\) sur la contrainte circonférentielle de la face interne). Ces résultats valident la démarche de modélisation axisymétrique pour les récipients sous pression et ouvrent sur le dimensionnement : les contraintes thermiques atteignent près de 1000 MPa en compression sur la face interne, très au-delà de la limite élastique de l’alliage d’aluminium, ce qui justifierait un récipient plus épais ou un fluide cryogénique moins chaud.