14 Bouteille de plongée sous pression
Problème : dimensionnement d’une bouteille de plongée constituée d’un tube creux (rayon intérieur \(R_i\), rayon extérieur \(R_e\), hauteur \(2H\)) assemblé à deux demi-sphères aux extrémités. La bouteille est soumise à une pression interne \(p\).
Paramètres : | Grandeur | Valeur | |———-|——-| | \(R_i\) | \(10\) cm | | \(R_e\) | \(11\) cm | | \(H\) | \(20\) cm | | \(p\) | \(200\) bar | | \(E\) | \(210\) GPa | | \(\nu\) | \(0.3\) |
14.1 Géométrie et symétries
La bouteille présente deux symétries : - Symétrie axiale (axisymétrie) : la géométrie, le chargement et les conditions aux limites sont invariants par rotation autour de l’axe \(z\). - Symétrie planaire par rapport au plan équatorial \(z=0\) (plan médian de la partie cylindrique).
Ces symétries permettent de réduire le modèle à une section méridienne 2D dans le plan \((r,z)\), limitée à la moitié \(z \ge 0\).
14.2 Schéma de la structure
14.3 Solutions analytiques
La bouteille est constituée de deux parties distinctes : une partie cylindrique (tube) et deux calottes sphériques (demi-sphères). Pour chaque partie, on dispose de la solution de Lamé pour une coque épaisse sous pression interne.
Les solutions sont données en coordonnées cylindriques (pour le tube) et sphériques (pour les calottes), avec \(r\) la coordonnée radiale mesurée depuis l’axe de révolution.
14.3.1 1) Partie sphérique (calotte)
En coordonnées sphériques, le déplacement radial \(U_r\) et les contraintes s’écrivent :
\[\boxed{U_r^{\text{sph}}(r) = A \frac{1 - 2\nu}{E} r + B \frac{1 + \nu}{E} \frac{1}{r^2}}\]
\[\boxed{\sigma_{rr}^{\text{sph}}(r) = p \frac{R_i^3}{R_e^3 - R_i^3} \left(1 - \frac{R_e^3}{r^3}\right)}\]
\[\boxed{\sigma_{\theta\theta}^{\text{sph}}(r) = \sigma_{\phi\phi}^{\text{sph}}(r) = p \frac{R_i^3}{R_e^3 - R_i^3} \left(1 + \frac{R_e^3}{2 r^3}\right)}\]
avec \[A = p \frac{R_i^3}{R_e^3 - R_i^3}, \qquad B = \frac{p}{2} \frac{R_i^3 R_e^3}{R_e^3 - R_i^3}\]
14.3.2 2) Partie cylindrique (tube)
En coordonnées cylindriques (axisymétrique, déformations planes), le déplacement radial et les contraintes sont :
\[\boxed{U_r^{\text{cyl}}(r) = C \frac{1 - 2\nu}{E} r + D \frac{1 + \nu}{E} \frac{1}{r}}\]
\[\boxed{\sigma_{rr}^{\text{cyl}}(r) = p \frac{R_i^2}{R_e^2 - R_i^2} \left(1 - \frac{R_e^2}{r^2}\right)}\]
\[\boxed{\sigma_{\theta\theta}^{\text{cyl}}(r) = p \frac{R_i^2}{R_e^2 - R_i^2} \left(1 + \frac{R_e^2}{r^2}\right)}\]
\[\boxed{\sigma_{zz}^{\text{cyl}} = p \frac{R_i^2}{R_e^2 - R_i^2} \quad \text{(contrainte axiale moyenne)}}\]
avec \[C = p \frac{R_i^2}{R_e^2 - R_i^2}, \qquad D = p \frac{R_i^2 R_e^2}{R_e^2 - R_i^2}\]
14.3.3 3) Contrainte de Von Mises
La contrainte équivalente de Von Mises s’exprime à partir des contraintes principales :
Partie sphérique : \[\boxed{\sigma_{VM}^{\text{sph}} = \big|\sigma_{\theta\theta} - \sigma_{rr}\big|}\]
Partie cylindrique : \[\boxed{\sigma_{VM}^{\text{cyl}} = \sqrt{\frac{1}{2}\left[(\sigma_{rr} - \sigma_{\theta\theta})^2 + (\sigma_{\theta\theta} - \sigma_{zz})^2 + (\sigma_{zz} - \sigma_{rr})^2\right]}}\]
14.4 Applications numériques
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Résultats analytiques — Bouteille de plongée
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Pression interne : 200 bar = 20.0 MPa
── Partie sphérique (calotte) ──
u_r(R_i) = 0.0364 mm
u_r(R_e) = 0.0332 mm
σ_rr(R_i) = -20.00 MPa
σ_rr(R_e) = 0.00 MPa
σ_θθ(R_i) = 100.63 MPa
σ_θθ(R_e) = 90.63 MPa
σ_VM(R_i) = 120.63 MPa
σ_VM(R_e) = 90.63 MPa
── Partie cylindrique (tube) ──
u_r(R_i) = 0.0895 mm
u_r(R_e) = 0.0848 mm
σ_rr(R_i) = -20.00 MPa
σ_rr(R_e) = 0.00 MPa
σ_θθ(R_i) = 210.48 MPa
σ_θθ(R_e) = 190.48 MPa
σ_zz = 95.24 MPa
σ_VM(R_i) = 199.60 MPa
σ_VM(R_e) = 164.96 MPa
14.5 Tableau récapitulatif
| Grandeur | Sphère (calotte) | Cylindre (tube) | Unité |
|---|---|---|---|
| \(u_r(R_i)\) | 0.0364 | 0.0895 | mm |
| \(u_r(R_e)\) | 0.0332 | 0.0848 | mm |
| \(\sigma_{rr}(R_i)\) | -20.00 | -20.00 | MPa |
| \(\sigma_{rr}(R_e)\) | 0.00 | 0.00 | MPa |
| \(\sigma_{\theta\theta}(R_i)\) | 100.63 | 210.48 | MPa |
| \(\sigma_{\theta\theta}(R_e)\) | 90.63 | 190.48 | MPa |
| \(\sigma_{VM}(R_i)\) | 120.63 | 199.60 | MPa |
| \(\sigma_{VM}(R_e)\) | 90.63 | 164.96 | MPa |
14.6 Conclusion
Les solutions analytiques de Lamé fournissent les champs de déplacement et de contrainte dans les deux parties de la bouteille. La partie cylindrique présente une contrainte hoope \(\sigma_{\theta\theta}\) plus élevée que la partie sphérique pour une même épaisseur relative, ce qui est cohérent avec le fait qu’une sphère est la forme optimale pour résister à la pression interne.
La comparaison avec les résultats éléments finis (FEniCSx axisymétrique) permettra de valider le modèle numérique et d’étudier la transition entre les deux géométries (effet de bord à la jonction cylindre-sphère), où la solution analytique n’est plus valable localement.