Projet 8
Validation numérique d’une bouteille de plongée sous pression par comparaison des solutions de Lamé avec un modèle éléments finis axisymétrique FEniCSx
Accès immédiat + email envoyé après paiementI) Partie théorique
1) Contexte et problématique
L’objet de cette étude est le dimensionnement par simulation numérique d’une bouteille de plongée constituée de l’assemblage d’un tube creux de hauteur \(2H = 40\) cm avec deux demi-sphères aux extrémités, l’ensemble présentant un rayon intérieur \(R_i = 10\) cm et un rayon extérieur \(R_e = 11\) cm, en alliage acier/aluminium/chrome (\(E = 210\) GPa, \(\nu = 0,3\)), soumis à une pression interne de \(200\) bar (\(20\) MPa). La question centrale est la détermination du déplacement radial maximal et la comparaison des champs de contrainte obtenus par simulation éléments finis avec les solutions analytiques de Lamé pour les géométries sphérique et cylindrique.
2) Approche analytique
Les solutions de Lamé (Lamé, 1852) pour une coque épaisse sous pression interne fournissent les expressions du déplacement radial et des contraintes dans chaque partie de la bouteille. Pour la partie sphérique, le déplacement radial s’écrit \(U_r^{\text{sph}}(r) = A(1-2\nu)r/E + B(1+\nu)/(Er^2)\) avec \(A = pR_i^3/(R_e^3-R_i^3)\) et \(B = pR_i^3R_e^3/[2(R_e^3-R_i^3)]\), et les contraintes sont données par \(\sigma_{rr}^{\text{sph}}(r) = A(1-R_e^3/r^3)\) et \(\sigma_{\theta\theta}^{\text{sph}}(r) = A(1+R_e^3/(2r^3))\). Pour la partie cylindrique en formulation axisymétrique, on a \(U_r^{\text{cyl}}(r) = C(1-2\nu)r/E + D(1+\nu)/(Er)\) avec \(C = pR_i^2/(R_e^2-R_i^2)\) et \(D = pR_i^2R_e^2/(R_e^2-R_i^2)\), et les contraintes \(\sigma_{rr}^{\text{cyl}}(r) = C(1-R_e^2/r^2)\), \(\sigma_{\theta\theta}^{\text{cyl}}(r) = C(1+R_e^2/r^2)\) et \(\sigma_{zz}^{\text{cyl}} = C\). La contrainte équivalente de Von Mises est ensuite calculée à partir de ces composantes pour chaque géométrie.
II) Partie numérique (FEM)
1) Méthode numérique employée
Un modèle éléments finis axisymétrique est construit dans l’environnement FEniCSx en utilisant un maillage quadrangles Q2 de la section méridienne de la bouteille, généré avec Gmsh (algorithme Frontal-Delaunay avec recombinaison). La formulation variationnelle intègre le facteur \(2\pi r\) pour tenir compte de l’axisymétrie, et le tenseur des déformations inclut la composante circonférentielle \(\varepsilon_{\theta\theta} = u_r/r\). Les conditions limites imposent \(u_z = 0\) sur le plan de symétrie équatorial (\(z=0\)) et \(u_r = 0\) sur l’axe de révolution (\(r=0\)). La pression interne est appliquée sur toutes les surfaces internes sous forme d’un effort nodal équivalent.
2) Résultats numériques
La simulation donne un déplacement total maximal de \(0,0947\) mm, situé au niveau de la paroi interne de la partie cylindrique. La contrainte de Von Mises maximale atteint \(194,57\) MPa, également dans la partie cylindrique à la paroi interne. Les champs de déplacement et de contrainte sont exportés sous forme de visualisations PyVista montrant la distribution spatiale des grandeurs mécaniques.
III) Comparaison analytique — numérique
Les valeurs numériques sont confrontées aux solutions analytiques de Lamé : pour la partie cylindrique, le déplacement radial théorique à la paroi interne vaut \(0,0895\) mm et la contrainte tangentielle \(210,48\) MPa, tandis que pour la partie sphérique, le déplacement théorique à la paroi interne est de \(0,0364\) mm et la contrainte tangentielle de \(100,63\) MPa. La contrainte de Von Mises analytique maximale dans le cylindre (\(199,60\) MPa) surestime légèrement la valeur numérique (\(194,57\) MPa), ce qui s’explique par la transition progressive entre les géométries cylindrique et sphérique dans le modèle EF, contrairement à la solution analytique qui traite chaque partie séparément. L’erreur relative sur le déplacement reste inférieure à \(6\) %, validant ainsi la pertinence du modèle.
IV) Dimensionnement
1) Pression maximale admissible
En exploitant le modèle FEM validé, on détermine la pression interne maximale \(p_{\max}\) que peut supporter la bouteille avant plasticification selon le critère de Von Mises avec une contrainte seuil \(\sigma_0 = 700\) MPa (valeur typique pour un acier à haute limite élastique). Un balayage paramétrique de \(200\) à \(800\) bar par pas de \(100\) bar permet de tracer l’évolution de la contrainte de Von Mises maximale en fonction de la pression. Par interpolation linéaire, on obtient \(p_{\max}^{\text{FEM}} = 719,5\) bar, tandis que la solution analytique de Lamé pour le cylindre seul donne \(p_{\max}^{\text{analytique}} = 701,4\) bar, soit un écart de \(+2,6\,\%\). La valeur FEM est légèrement supérieure car la présence des calottes sphériques abaisse la contrainte maximale dans le modèle complet.
2) Épaisseur minimale de paroi
Pour une pression de service de \(200\) bar, on cherche le rayon externe minimal \(R_{e,\min}\) (et donc l’épaisseur minimale) évitant toute plasticification. La solution analytique de Lamé pour le cylindre, qui gouverne le dimensionnement (contrainte de Von Mises plus élevée que dans la sphère), donne \(R_{e,\min} = 10,26\) cm, soit une épaisseur minimale de seulement \(0,26\) cm. Avec la géométrie actuelle (\(R_e = 11\) cm, épaisseur \(1\) cm), la contrainte de Von Mises maximale n’est que de \(194,57\) MPa, soit un coefficient de sécurité de \(3,6\) par rapport à la limite \(\sigma_0 = 700\) MPa. Ces résultats confirment que le dimensionnement existant est très largement satisfaisant pour l’application considérée.
Conclusion orientée validation
Cette étude valide la capacité du modèle éléments finis axisymétrique FEniCSx à reproduire les solutions de Lamé pour une bouteille sous pression, avec une précision satisfaisante pour une application au dimensionnement. La différence observée entre les contraintes numériques et analytiques provient essentiellement de l’effet de bord à la jonction cylindre-sphère, où la solution analytique discontinue ne peut capturer le champ de contrainte continu calculé par EF. L’étude de dimensionnement complémentaire a montré que la pression maximale admissible est de \(719,5\) bar (soit \(3,6\) fois la pression de service) et que l’épaisseur minimale requise n’est que de \(0,26\) cm, démontrant une marge de sécurité confortable. Le modèle FEM constitue ainsi un outil fiable pour le dimensionnement de réservoirs sous pression, permettant d’explorer des géométries et des chargements variés sans recourir à des solutions analytiques restrictives.