12 Cuve sphérique thermo-mécanique
Réservoir sphérique pour le stockage de gaz liquéfié — analyse thermoélastique.
On étudie l’état de contrainte et de déplacement dans un réservoir sphérique de rayon intérieur \(R_i = 1\) m et d’épaisseur \(h = 10\) cm, soumis à une pression interne \(p_i = 350\) bar et à un gradient de température \(\Delta T = 100\) °C dans l’épaisseur. La symétrie sphérique du problème permet une modélisation 1D (coordonnée radiale \(r\)).
12.1 Géométrie et symétries
Le réservoir est une sphère creuse de rayon intérieur \(R_i\) et extérieur \(R_e = R_i + h\). Le problème présente une symétrie sphérique complète : - toutes les grandeurs ne dépendent que de \(r\) (coordonnée radiale) ; - les champs de contrainte et déformation sont isotropes dans les directions tangentielles : \(\sigma_{\theta\theta} = \sigma_{\phi\phi}\), \(\varepsilon_{\theta\theta} = \varepsilon_{\phi\phi}\) ; - la modélisation axisymétrique 2D (méridienne) est suffisante en éléments finis ; - on utilise la symétrie de révolution autour de l’axe \(z\).
12.1.1 Paramètres
| Grandeur | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Rayon intérieur | \(R_i\) | \(1.0\) m |
| Épaisseur | \(h\) | \(0.1\) m |
| Pression interne | \(p_i\) | \(350\) bar (\(35\) MPa) |
| Module d’Young | \(E\) | \(200\) GPa |
| Coefficient de Poisson | \(\nu\) | \(0.3\) |
| Dilatation thermique | \(\alpha\) | \(1.2\times10^{-5}\) °C\(^{-1}\) |
| Température interne | \(T_i\) | \(-50\) °C |
| Température externe | \(T_e\) | \(50\) °C |
| Contrainte admissible | \(\sigma_{\max}\) | \(200\) MPa |
12.2 Schéma de la structure
La figure ci-dessous représente la section méridienne de la cuve sphérique avec les conditions aux limites et les chargements.
12.3 Champ de température
L’équation de la chaleur en régime stationnaire dans un milieu isotrope à conductivité constante se réduit au Laplacien nul. En coordonnées sphériques avec symétrie radiale :
\[\nabla^2 T = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dT}{dr}\right) = 0\]
Solution :
\[\boxed{T(r) = A + \frac{B}{r}}\]
Avec les conditions \(T(R_i) = T_i\) et \(T(R_e) = T_e\) :
\[\boxed{T(r) = T_i + (T_e - T_i)\,\frac{1/R_i - 1/r}{1/R_i - 1/R_e}}\]
Pour une paroi mince (\(h \ll R_i\)), le champ est quasi-linéaire dans l’épaisseur.
12.4 Thermoélasticité linéaire
La loi de comportement de Duhamel-Neumann couple les champs mécanique et thermique :
\[\boldsymbol{\sigma} = \mathbb{C} : (\boldsymbol{\varepsilon} - \alpha\,\Delta T\,\mathbf{I})\]
En symétrie sphérique, les déformations s’écrivent :
\[\varepsilon_{rr} = \frac{du_r}{dr}, \qquad \varepsilon_{\theta\theta} = \varepsilon_{\phi\phi} = \frac{u_r}{r}\]
L’équation d’équilibre en l’absence de forces volumiques :
\[\frac{d\sigma_{rr}}{dr} + \frac{2}{r}(\sigma_{rr} - \sigma_{\theta\theta}) = 0\]
En exprimant \(\sigma_{rr}\) et \(\sigma_{\theta\theta}\) en fonction de \(u_r(r)\) via la loi de Hooke thermoélastique, on obtient une équation différentielle pour \(u_r(r)\) dont la solution générale est :
\[u_r(r) = C_1 r + \frac{C_2}{r^2} + \frac{\alpha}{r^2}\int_{R_i}^{r} T(\xi)\,\xi^2\,d\xi\]
12.4.1 Cas (a) — Élévation uniforme de température
Si \(T(r) = T_{\text{amb}}\) constante (dilatation libre sans gradient) : - \(\boldsymbol{\sigma} = \mathbf{0}\) (aucune contrainte) ; - \(u_r(r) = \alpha\,T_{\text{amb}}\,r\) (dilatation libre).
12.4.2 Cas (b) — Gradient thermique \(T(r)\)
Le champ de température non-uniforme induit des contraintes thermoélastiques. Les solutions analytiques complètes pour \(\sigma_{rr}(r)\), \(\sigma_{\theta\theta}(r)\), \(u_r(r)\) sont obtenues par intégration de l’équation différentielle ci-dessus.
12.5 Pression interne seule (sans thermique)
Sous pression interne \(p_i\) seule, la solution de Lamé pour une sphère creuse s’écrit :
\[\boxed{\sigma_{rr}(r) = \frac{p_i R_i^3}{R_e^3 - R_i^3}\left(1 - \frac{R_e^3}{r^3}\right)}\]
\[\boxed{\sigma_{\theta\theta}(r) = \frac{p_i R_i^3}{R_e^3 - R_i^3}\left(1 + \frac{R_e^3}{2r^3}\right)}\]
\[\boxed{u_r(r) = \frac{p_i R_i^3}{R_e^3 - R_i^3}\,\frac{r}{E}\left[(1-2\nu) + (1+\nu)\frac{R_e^3}{2r^3}\right]}\]
12.5.1 Contrainte de Von Mises
Pour un état de contrainte sphérique (\(\sigma_{\phi\phi} = \sigma_{\theta\theta}\)) :
\[\boxed{\sigma_{VM} = |\sigma_{\theta\theta} - \sigma_{rr}|}\]
La valeur maximale est atteinte en paroi interne (\(r = R_i\)) :
\[\sigma_{VM}^{\max} = \frac{3}{2}\,\frac{p_i}{1 - (R_i/R_e)^3}\]
12.5.2 Coefficient de sécurité
\[\boxed{s = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{VM}^{\max}}}\]
12.6 Renfort composite
On considère un renfort externe d’épaisseur \(t = 1\) cm en matériau composite orthotrope à fibres de carbone enroulées, avec un module tangentiel \(E_t = 250\) GPa et un module radial \(E_r = 250\) GPa. Le renfort modifie la rigidité radiale de la cuve : - les déplacements sont réduits par rapport au cas non renforcé ; - la contrainte dans la partie métallique diminue ; - la composante radiale \(\sigma_{rr}\) est continue à l’interface métal/composite ; - la composante tangentielle \(\sigma_{\theta\theta}\) présente un saut (discontinuité du matériau).
Le renfort permet d’augmenter la pression de service ou de réduire l’épaisseur de la paroi métallique pour un même niveau de sécurité.
sigma_VM max = 211.11 MPa
Coef. securite = 0.95
u_r(R_i) = 0.6689 mm
u_r(R_e) = 0.6106 mm
12.7 Résumé des grandeurs clés
| Grandeur | Formule | Valeur numérique |
|---|---|---|
| \(\sigma_{rr}(R_i)\) | \(-p_i\) | \(-35.00\) MPa |
| \(\sigma_{\theta\theta}(R_i)\) | \(p_i\frac{1 + (R_e/R_i)^3/2}{(R_e/R_i)^3 - 1}\) | \(176.11\) MPa |
| \(\sigma_{VM}^{\max}\) | \(|\sigma_{\theta\theta}(R_i) - \sigma_{rr}(R_i)|\) | \(211.11\) MPa |
| Coefficient de sécurité \(s\) | \(\sigma_{\max} / \sigma_{VM}^{\max}\) | \(0.95\) |
| \(u_r(R_i)\) | — | \(0.67\) mm |
| \(u_r(R_e)\) | — | \(0.61\) mm |
Remarque : Le coefficient de sécurité \(s < 1\) indique que la pression \(p_i = 350\) bar dépasse la limite élastique du matériau pour cette géométrie. En pratique, il faudrait augmenter l’épaisseur ou utiliser un renfort composite.
12.8 Conclusion
Ce problème illustre le couplage thermo-mécanique dans une structure à symétrie sphérique : - le champ de température est solution du Laplacien sphérique (décroissance en \(1/r\)) ; - un gradient thermique induit des contraintes thermoélastiques même en l’absence de chargement mécanique extérieur ; - la solution de Lamé pour la pression interne fournit un cas-test analytique pour valider le calcul éléments finis axisymétrique ; - l’ajout d’un renfort composite modifie la rigidité et réduit les contraintes dans la partie métallique.